Una razón es una asociación entre dos o más cantidades. Por ejemplo, las tazas de jugo y las tazas de agua con gas de la receta de una bebida forman una razón. Las razones se pueden representar con diagramas. Este es un diagrama de la receta de una bebida. 

Estas son algunas formas correctas de describir este diagrama:

• La razón de tazas de jugo a tazas de agua con gas es .
• La razón de tazas de agua con gas a tazas de jugo es 4 a 6.
• Hay 6 tazas de jugo por cada 4 tazas de agua con gas.

También podemos usar otros números para describir las cantidades de esta situación. Por ejemplo, podemos decir que hay 3 tazas de jugo por cada 2 tazas de agua con gas. Las razones   y   son equivalentes porque al mezclar jugo y agua con gas en esas cantidades se producen bebidas con el mismo sabor.

Dos situaciones que se pueden describir con razones equivalentes son parecidas en un aspecto importante. Por ejemplo, mezclar 1 ml de pintura negra y 10 ml de pintura blanca produce el mismo tono de pintura gris que mezclar 3 ml de pintura negra y 30 ml de pintura blanca, por eso estas razones de pintura negra a pintura blanca son equivalentes.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Hay cuatro caballos en un establo. Cada caballo tiene 4 patas, 1 cola y 2 orejas.

1. Dibujen un diagrama que muestre la razón de patas a colas y a orejas del establo.

2. Completen cada afirmación.

   • La razón de ________ a ________ a ________ es ________ : ________ : ________.
   • Hay ________ orejas por cada cola. Hay ________ patas por cada oreja.

Solución:

1. Ejemplo de respuesta:

   

2. Ejemplo de respuesta: La razón de patas a colas a orejas es . Hay 2 orejas por cada cola. Hay 2 patas por cada oreja.

En grados anteriores, nuestros estudiantes convirtieron yardas a pies usando el hecho de que 1 yarda son 3 pies, y convirtieron kilómetros a metros usando el hecho de que 1 kilómetro son 1,000 metros. Ahora, en grado 6, van a convertir unidades que no siempre usan números enteros.

Nuestros estudiantes también van a usar lo que saben sobre razones y tasas para razonar sobre medidas expresadas en diferentes unidades, como libras y kilogramos.

Supongamos que pesamos cuatro objetos en libras y en kilogramos, y registramos las medidas como se muestra en esta tabla.

peso (libras)	peso (kilogramos)
22	10
88	40
33	15
40.7	18.5

Cada par de valores de una fila forma un razón y las razones de todas las filas de la tabla son equivalentes. Comprender esto puede ayudarnos a hacer conversiones entre dos unidades de medida.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Expliquen su estrategia para cada pregunta.

1. ¿Qué pesa más: 1 libra o 1 kilogramo?
2. Una canoa pesa 99 libras. ¿Cuántos kilogramos pesa?
3. Una sandía pesa 12 kilogramos. ¿Cuántas libras pesa?

Solución:

Cualquier estrategia correcta que puedan entender y explicar es aceptable. Ejemplos de respuestas: 

1. 1 kilogramo pesa más que 1 libra. Cuando pesamos el mismo objeto en libras y en kilogramos, el número de libras es mayor que el número de kilogramos. Se necesitan menos kilogramos para expresar el peso del mismo objeto; por lo tanto, cada kilogramo debe pesar más que cada libra. 
2. 45. Si usamos la tabla, podemos deducir que 11 libras son 5 kilogramos. Al multiplicar cada uno de estos valores por 9, vemos que 99 libras son 45 kilogramos.
3. 26.4. Si usamos la tabla, podemos encontrar que cada kilogramo es igual a 2.2 libras aproximadamente. Esto quiere decir que si sabemos el peso de un objeto en kilogramos, podemos multiplicarlo por 2.2 para encontrar su peso en libras.

Hay distintas maneras de representar razones equivalentes.

Supongamos que en la clase de sexto grado están vendiendo boletos para una rifa a un precio de $6 por cada 5 boletos. A esa tasa, 10 boletos cuestan $12. Algunos estudiantes podrían usar diagramas con figuras para representar esta situación. Por ejemplo, este diagrama representa 10 boletos a $12.

Dibujar tantas figuras es poco práctico. Los diagramas de recta numérica doble pueden ser la forma más rápida de mostrar razones equivalentes. Este diagrama representa el precio en dólares de distintas cantidades de boletos para la rifa. Todos los boletos se venden a la misma tasa de $6 por cada 5 boletos.

El diagrama puede dividirse, extenderse y marcarse para encontrar los precios de otras cantidades de boletos, incluido el precio de 1 boleto, que es el precio unitario.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Los boletos de la rifa cuestan $6 por cada 5 boletos.

1. ¿Cuántos boletos pueden obtener con $90?
2. ¿Cuál es el precio de 1 boleto?

Solución:

1. 75 boletos. Ejemplos de razonamiento:
   • Si extendemos la recta numérica doble, observamos que $90 está alineado con 75 boletos.
   • Si con $6 se compran 5 boletos, entonces con $60 se compran 50 boletos y con $30 se compran 25 boletos. Así, con $90, que es $60+$30, se compran  , es decir, 75 boletos.
2. $1.20. Ejemplos de razonamiento: dividimos la recta numérica en 5 intervalos iguales, como se ve en el diagrama. Concluimos que el precio en dólares de 1 boleto debe ser

Supongamos que 440 personas asistieron a un musical en su noche de estreno. Si 330 eran adultos, ¿qué porcentaje de los asistentes eran adultos? Si la asistencia a la segunda noche fue el 125% de la asistencia a la noche de estreno, ¿cuántas personas asistieron la segunda noche?

Los estudiantes usan su comprensión sobre razones y “tasas por cada 1” para encontrar porcentajes, que se pueden entender como “tasas por cada 100”. Usan los diagramas de recta numérica doble y tablas para justificar su razonamiento y para responder preguntas como las relacionadas con la asistencia al musical.

número de personas	porcentaje
440	100%
110	25%
330	75%
550	125%

Hacia el final de la unidad, los estudiantes desarrollan estrategias más sofisticadas para encontrar porcentajes. Por ejemplo, para encontrar el 125% de 440 asistentes, se puede calcular  Con práctica, los estudiantes usarán estas estrategias de manera más eficiente y entenderán por qué funcionan.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Para cada pregunta, expliquen su razonamiento. Si tienen dificultades, intenten crear una tabla o una recta numérica doble que represente la situación.

1. Una botella contiene 16 onzas de jugo. Bebiste el 25% del jugo. ¿Cuántas onzas bebiste?
2. En un juego de preguntas respondiste correctamente 9 preguntas. Eso es el 75% de las preguntas. ¿Cuántas preguntas había en el juego?
3. Planeaste caminar 8 millas, pero finalmente caminaste 12 millas. ¿Qué porcentaje de la distancia planeada caminaste?

Solución:

Cualquier razonamiento correcto que puedan entender y explicar es aceptable. Ejemplos de razonamiento:

1. 4. 25% del jugo es de lo que había en la botella, y de 16 es 4.
2. 12. Si 9 preguntas son el 75%, podemos dividir ambas cantidades entre 3 y concluir que 3 preguntas son el 25%. Si ahora multiplicamos cada cantidad por 4, podemos mostrar que 12 preguntas son el 100%.
3. 150%. Si 8 millas son el 100%, entonces 4 millas son el 50% y 12 millas son el 150%.

¿Quién iba más rápido en su bicicleta: Andre, que recorrió 25 millas en 2 horas, o Lin, que recorrió 30 millas en 3 horas?

Una estrategia sería calcular una tasa unitaria para cada persona. Una tasa unitaria es una razón equivalente expresada como algo “por cada 1”. Por ejemplo, la tasa unitaria de Andre se podría escribir como “ millas en 1 hora” o “ millas por hora”. La tasa unitaria de Lin se podría escribir como “10 millas por hora”.

Al hallar las tasas unitarias, podemos comparar las distancias recorridas por cada persona en 1 hora y así comprobar que Andre iba más rápido.

Toda razón tiene dos tasas unitarias asociadas a ella. En este ejemplo, también podríamos calcular horas por milla: cuántas horas le tomó a cada persona recorrer 1 milla. Aunque no todas las tasas tienen nombres especiales, las tasas en “millas por hora” suelen llamarse rapidez y las tasas en “horas por milla” suelen llamarse ritmo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

El concentrado para perros se vende al por mayor: 4 libras por $16.00.

1. A esta tasa, ¿cuál es el costo por cada libra de concentrado?
2. A esta tasa, ¿cuál es la cantidad de concentrado que se puede comprar por cada dólar?

Solución: