Pensemos en un ejemplo que ya trabajamos: en la clase de sexto grado están vendiendo boletos para una rifa a un precio de \$6 por cada 5 boletos. Si tratáramos de encontrar el precio de 300 boletos extendiendo este diagrama de recta numérica doble, ¡se necesitaría 5 veces la cantidad de papel!

A double number line with 11 evenly spaced tick marks. For "price, in dollars" the numbers 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, and 60 are indicated. For "number of tickets" the numbers 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, and 50 are indicated.

Los diagramas de recta numérica doble son difíciles de usar en problemas en los que aparecen cantidades grandes. Una tabla es una mejor opción para representar esta situación. Las tablas de razones equivalentes son útiles, pues podemos organizar las filas en cualquier orden. Por ejemplo, un estudiante puede hacer la siguiente tabla para hallar el precio de 300 boletos para la rifa:

A 2-column table with 3 rows of data. First column is labeled "price in dollars" and the second column is labeled "number of tickets." Row 1: 6, 5; Row 2: 1.20, 1; Row 3: 360, 300. An arrow pointing from row 1 to row 2 is labeled "divided by 5" and a second arrow from row 2 to row 3 is labeled "times 300."

Aunque los estudiantes pueden elegir cualquier representación que los ayude a resolver el problema, es importante que se sientan cómodos con las tablas, pues las usarán para diversos propósitos en futuros cursos de matemáticas.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

A una rapidez constante, un tren recorre 45 millas en 60 minutos. A esta tasa, ¿cuánto recorre el tren en 12 minutos? Si tienen dificultades resolviendo el problema, pueden crear una tabla.

Solución:

Hay distintas maneras de representar razones equivalentes.

Supongamos que en la clase de sexto grado están vendiendo boletos para una rifa a un precio de \$6 por cada 5 boletos. A esa tasa, 10 boletos cuestan \$12. Algunos estudiantes podrían usar diagramas con figuras para representar esta situación. Por ejemplo, este diagrama representa 10 boletos a \$12.

Dibujar tantas figuras es poco práctico. Los diagramas de recta numérica doble pueden ser la forma más rápida de mostrar razones equivalentes. Este diagrama representa el precio en dólares de distintas cantidades de boletos para la rifa. Todos los boletos se venden a la misma tasa de \$6 por cada 5 boletos.

El diagrama puede dividirse, extenderse y marcarse para encontrar los precios de otras cantidades de boletos, incluido el precio de 1 boleto, que es el precio unitario.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Los boletos de la rifa cuestan \$6 por cada 5 boletos.

1. ¿Cuántos boletos pueden obtener con \$90?
2. ¿Cuál es el precio de 1 boleto?

Solución:

1. 75 boletos. Ejemplos de razonamiento:
   • Si extendemos la recta numérica doble, observamos que \$90 está alineado con 75 boletos.
   • Si con \$6 se compran 5 boletos, entonces con \$60 se compran 50 boletos y con \$30 se compran 25 boletos. Así, con \$90, que es \$60+\$30, se compran \(50+25\), es decir, 75 boletos.
2. \$1.20. Ejemplos de razonamiento: dividimos la recta numérica en 5 intervalos iguales, como se ve en el diagrama. Concluimos que el precio en dólares de 1 boleto debe ser \(6 \div 5.\)

Una razón es una asociación entre dos o más cantidades. Por ejemplo, las tazas de jugo y las tazas de agua con gas de la receta de una bebida forman una razón. Las razones se pueden representar con diagramas. Este es un diagrama de la receta de una bebida. 

Estas son algunas formas correctas de describir este diagrama:

• La razón de tazas de jugo a tazas de agua con gas es \(6:4\).
• La razón de tazas de agua con gas a tazas de jugo es 4 a 6.
• Hay 6 tazas de jugo por cada 4 tazas de agua con gas.

También podemos usar otros números para describir las cantidades de esta situación. Por ejemplo, podemos decir que hay 3 tazas de jugo por cada 2 tazas de agua con gas. Las razones \(6:4\) y \(3:2\) son equivalentes porque al mezclar jugo y agua con gas en esas cantidades se producen bebidas con el mismo sabor.

Dos situaciones que se pueden describir con razones equivalentes son parecidas en un aspecto importante. Por ejemplo, mezclar 1 ml de pintura negra y 10 ml de pintura blanca produce el mismo tono de pintura gris que mezclar 3 ml de pintura negra y 30 ml de pintura blanca, por eso estas razones de pintura negra a pintura blanca son equivalentes.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Hay cuatro caballos en un establo. Cada caballo tiene 4 patas, 1 cola y 2 orejas.

1. Dibujen un diagrama que muestre la razón de patas a colas y a orejas del establo.

2. Completen cada afirmación.

   • La razón de ________ a ________ a ________ es ________ : ________ : ________.
   • Hay ________ orejas por cada cola. Hay ________ patas por cada oreja.

Solución:

1. Ejemplo de respuesta:

   

2. Ejemplo de respuesta: La razón de patas a colas a orejas es \(16:4:8\). Hay 2 orejas por cada cola. Hay 2 patas por cada oreja.