Esta semana, nuestros estudiantes van a resolver problemas que involucran factores y múltiplos.

Como , decimos que 2 y 6 son factores de 12. El número 12 tiene otros factores: 1, 3, 4 y el mismo 12.

Como  ,   y  , decimos que 12, 24 y 36 son múltiplos de 12. Podemos seguir multiplicando números enteros por 12 para encontrar más múltiplos de 12.

En grados anteriores se estudiaron factores y múltiplos. El foco ahora está en los factores comunes y los múltiplos comunes de dos números enteros. Por ejemplo, 4 es un factor de 8 y un factor de 20, así que 4 es un factor común de 8 y de 20. Por otro lado, 80 es un múltiplo de 8 y un múltiplo de 20, así que 80 es un múltiplo común de 8 y 20.

Una forma de encontrar los factores comunes de dos números es hacer una lista de todos factores de cada número y ver qué factores tienen en común. A veces queremos encontrar el máximo factor común. Para encontrar el máximo factor común de 18 y 24, primero hacemos una lista de todos los factores de cada número y luego buscamos el mayor de los factores que tienen en común.

• Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

• Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. De todos ellos, 6 es el mayor. Por lo tanto, 6 es el máximo factor común de 18 y 24.

Para encontrar los múltiplos comunes de dos números, podemos hacer una lista con algunos múltiplos de cada número. A veces queremos encontrar el mínimo común múltiplo. Encontremos el mínimo común múltiplo de 18 y 24.

• Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144,...

• Múltiplos de 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192,...

Los primeros dos múltiplos comunes son 72 y 144. Vemos entonces que 72 es el mínimo común múltiplo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Un cocinero prepara sándwiches de queso para venderlos. Una barra de pan alcanza para 10 sándwiches. Un paquete de queso alcanza para 15 sándwiches.

¿Cuántas barras de pan y cuántos paquetes de queso debe comprar el cocinero para preparar sus sándwiches sin que le sobre ni pan ni queso?

Solución:

Como el cocinero quiere usar la barra entera de pan, el número de sándwiches que puede preparar será un múltiplo de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100,...

Como el cocinero quiere usar todo el queso de cada paquete, el número de sándwiches que puede preparar será un múltiplo de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,...

30, 60 y 90 son algunos de los múltiplos comunes.

• Para preparar 30 sándwiches, necesitará 3 barras de pan ( ) y 2 paquetes de queso ( ).
• Para preparar 60 sándwiches, necesitará 6 barras de pan y 4 paquetes de queso.
• Para preparar 90 sándwiches, necesitará 9 barras de pan y 6 paquetes de queso.

¡También hay otras soluciones! Si él quisiera comprar la menor cantidad posible de barras de pan y paquetes de queso, entonces el cocinero podría preparar 30 sándwiches.

Esta semana nuestros estudiantes van a trabajar con números con signo, es decir, números positivos y números negativos. A menudo comparamos números con signo cuando hablamos de temperaturas. Por ejemplo, -30 grados Fahrenheit es más frío que -10 grados Fahrenheit. Decimos que “-30 es menor que -10” y escribimos “ ”.

También usamos números con signo cuando nos referimos a la altitud, o altura con respecto al nivel del mar. Una altitud de 2 pies (que significa 2 pies por encima del nivel del mar) es mayor que una altitud de -4 pies (que significa 4 pies por debajo del nivel del mar). Decimos “2 es mayor que -4” y escribimos “ ”.

Podemos ubicar números positivos y negativos en la recta numérica. Un número a la izquierda de otro número siempre es menor.

Observamos que -1.3 es menor que 0.8 porque -1.3 está a la izquierda de 0.8, pero -1.3 es mayor que -2.7 porque está a la derecha de -2.7.

También podemos hablar de un número en términos de su valor absoluto, o su distancia al 0 en la recta numérica. Estos son algunos ejemplos: 

• 0.8 está a 0.8 unidades del 0. Para representar esta afirmación, podemos escribir “ ”.
• -2.7 está a 2.7 unidades del 0. Para representar esta afirmación, podemos escribir “ ”.
• Los números -3 y 3 están ambos a 3 unidades del 0. Podemos escribir “ y  ”.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Un buzo que está en la superficie del océano se prepara para sumergirse. ¿Cuál es la altitud del buzo con respecto al nivel del mar?

2. El buzo desciende 100 pies hasta la cubierta de un barco naufragado. ¿Cuál es la altitud del buzo ahora?

3. El buzo desciende 25 pies más hacia el suelo del mar. ¿Cuál es el valor absoluto de la altitud del buzo ahora?

4. Ubiquen cada una de las tres altitudes como un punto en una recta numérica. Marquen cada punto con su valor numérico.

Solución:

1. 0, porque el nivel del mar está 0 pies por encima o por debajo del nivel del mar.
2. -100, porque el buzo está 100 pies por debajo del nivel del mar.
3. La nueva altitud es -125 pies o 125 pies por debajo del nivel del mar, por lo tanto, su valor absoluto es 125 pies.

4. Una recta numérica en la que están marcados el 0, el -100 y el -125, como se muestra a continuación:

   

Esta semana, nuestros estudiantes van usar los símbolos  “” y “” para representar situaciones que involucran comparaciones. También van a graficar en una recta numérica las soluciones de desigualdades como  o  .

Supongamos que la temperatura, , en grados Celsius, es menor que 1 grado. Para representar esta situación, podemos escribir la desigualdad y dibujar una recta numérica así:

El diagrama muestra que todos los números menores que 1 son valores posibles de . Cualquier valor de  que haga que una desigualdad sea verdadera es una solución de la desigualdad.

Esto quiere decir que para la desigualdad  , cualquier valor de  que sea mayor que -8 es una solución de la desigualdad. Del mismo modo, cualquier valor de  que sea menor que 15 puede ser una solución de la desigualdad  . 

Según el contexto, las soluciones de una desigualdad pueden incluir solo cierto tipo de números. Tomemos como ejemplo  .

• Si  representa el número de estudiantes de una clase, un número negativo o un número fraccionario no tendrían sentido. Solo números enteros positivos tienen sentido como soluciones de  .
• Si  representa una distancia, las soluciones incluyen tanto números enteros como números no enteros, pero solo números positivos tienen sentido.
• Si  representa una temperatura, las soluciones incluyen tanto números enteros como números no enteros, y tienen sentido tanto los números positivos como los negativos.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

En un parque de diversiones, un letrero dice: “Para subir a la rueda de la fortuna debes medir más de 32 pulgadas”. 

Escriban y grafiquen una desigualdad que muestre la estatura de las personas que pueden subir a la rueda de la fortuna.

Solución:

Si representa la estatura de una persona en pulgadas, entonces la desigualdad representa la estatura de las personas que pueden subir a la rueda de la fortuna. También podemos escribir la desigualdad .

La gráfica de la desigualdad es:

Esta semana, nuestros estudiantes van a ubicar e interpretar puntos en el plano de coordenadas.

Los puntos en un plano de coordenadas también pueden representar situaciones que involucran números positivos y números negativos.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

En la gráfica sobre temperaturas antes y después del mediodía:

1. ¿Cuál fue la temperatura a las 7 a.m.? ¿Cuáles puntos representan esta información?
2. Entre las horas registradas, ¿en cuáles la temperatura estuvo por debajo de 5 grados Celsius?

Solución:

1. La temperatura fue 5 grados Celsius a las 7:00 a.m. El punto  representa esta información.
2. La temperatura estuvo por debajo de 5 grados Celsius en todas las horas registradas antes del mediodía.