Unit 2, Lesson 3
Triángulos congruentes (parte 1)
Matemáticas integradas 1
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Si el triángulo es congruente al triángulo …
Noah y Priya estaban jugando “Los triángulos invisibles”. Priya le dijo a Noah todos los lados que eran congruentes y todos los ángulos que eran congruentes.
Triangles A B C and D E F. Segments A B and D E each have 1 tick mark, B C and E F each have 2 tick marks, A C and D F each have 3 tick marks. Angles A C B and D F E each have 1 tick mark, A B C and D E F each have 2 tick marks, B A C and E D F each have 3 tick marks.
Noah le dijo a Priya que hiciera estos pasos para que los 3 vértices coincidieran:
Ahora Noah y Priya están tratando de explicar por qué sus instrucciones funcionan y necesitan ayuda. Responde a sus preguntas para ayudarlos a completar las partes que faltan en su demostración.
Primero, trasladamos el triángulo usando el segmento de recta dirigido que va de a . El punto va a coincidir con porque así definimos esa transformación. Luego, tomamos la imagen (el triángulo ) y la rotamos el ángulo de manera que los rayos y coincidan. El punto va a coincidir con el punto porque . Por último, tomamos la imagen (el triángulo ) y la reflejamos con respecto a . El rayo y el rayo van a coincidir porque . El punto y el punto van a coincidir porque . Como los 3 vértices de los triángulos coinciden, esta secuencia de transformaciones lleva el triángulo al triángulo .
Si todas las partes correspondientes de dos triángulos son congruentes, entonces un triángulo se puede llevar al otro con una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones. La congruencia de las partes correspondientes justifica que los vértices de los triángulos coincidan exactamente.
Una de las formas más comunes de hacer coincidir los vértices es primero usar una traslación para que un par de vértices coincida, luego una rotación para que un segundo par coincida, y, si es necesario, una reflexión para que el tercer par coincida. Hay varias maneras de justificar por qué los vértices deben coincidir si los triángulos son congruentes. Esta es una de ellas:
Primero, trasladamos el triángulo usando el segmento de recta dirigido que va de a . ¡Los puntos y coinciden porque así definimos la traslación! Luego, rotamos la imagen del triángulo usando como centro, de manera que los rayos y coincidan.
Sabemos que los rayos y coinciden porque así definimos la rotación. La distancia es igual a la distancia , porque las traslaciones y las rotaciones no cambian las distancias. Como los puntos y están sobre el mismo rayo y a la misma distancia de , deben estar en el mismo lugar.
Si es necesario, reflejamos el triángulo con respecto a la recta de manera que la imagen de quede del mismo lado de que . Sabemos que el ángulo es congruente al ángulo porque las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones no cambian las medidas de los ángulos.
Triangle A B C, blue, on left. Triangle D E F on the right. Triangle A prime B prime C double prime, after a transformation, overlapping Triangle D E F. Point D equals Point A prime, Point E equals Point B prime, Point F equals Point C double prime.
debe estar sobre el rayo porque y están del mismo lado de y forman el mismo ángulo con en . Sabemos que la distancia es igual a la distancia , lo que implica que la distancia entre y es igual a la distancia entre y (porque las traslaciones y las rotaciones no cambian las distancias). Como y están sobre el mismo rayo y a la misma distancia de , deben estar en el mismo lugar.