Unit 2, Lesson 6
Congruencia de triángulos lado-ángulo-lado
Matemáticas integradas 1
6.1
Warm-up
Instructional Routines
NoneMaterials
NoneActivity Narrative
NoneLaunch
NoneActivity
NoneSubraya cada afirmación de la lista que se usa en la demostración. También subraya en la demostración el lugar donde se usó esa afirmación.
Afirmaciones dadas:
- El segmento es congruente al segmento .
- El segmento es congruente al segmento .
- El segmento es congruente al segmento .
- El ángulo es congruente al ángulo .
- El ángulo es congruente al ángulo .
- El ángulo es congruente al ángulo .
Triangles A B C and D E F. Segments A B and D E are congruent. Segments A C and D F are congruent. Segments B C and E F are congruent. Angle A and D are congruent. Angle B and E are congruent. Angle C and F are congruent.
Demostración:
-
Como los segmentos y tienen la misma longitud, entonces son congruentes. Por lo tanto, existe un movimiento rígido que lleva a .
-
Apliquemos ese movimiento rígido al triángulo . La imagen de va a coincidir con y la imagen de va a coincidir con .
-
No podemos estar seguros todavía de que la imagen de coincida con . Si hace falta, refleja la imagen del triángulo con respecto a para asegurarte de que la imagen de , que llamamos , esté del mismo lado de que (esta reflexión no cambia las imágenes de ni de ).
-
Sabemos que la imagen del ángulo es congruente al ángulo porque los movimientos rígidos no cambian la medida de los ángulos.
-
debe estar sobre el rayo porque y están del mismo lado de y forman el mismo ángulo con en .
-
Como el segmento es la imagen de y los movimientos rígidos no cambian las distancias, deben tener la misma longitud.
-
También sabemos que y miden lo mismo. Por eso, y deben medir lo mismo.
-
Como y están a la misma distancia de y sobre el mismo rayo, deben estar en el mismo lugar.
-
Hemos encontrado un movimiento rígido que lleva a , a y a ; por lo tanto, el triángulo es congruente al triángulo .
Student Response
NoneBuilding on Student Thinking
Activity Synthesis
None6.3
Activity
Instructional Routines
NoneMaterials
To Copy (from Blackline Masters)
What Do We Know About Isosceles Triangles Handout
Activity Narrative
NoneLaunch
NoneActivity
NoneMai y Kiran comenzaron a demostrar que los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes. Completa la demostración. Dibuja la recta auxiliar y defínela de manera que puedas usar el teorema de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado para completar cada paso de esta demostración.
Dibuja .
El segmento es congruente al segmento por la definición de un triángulo isósceles.
El ángulo es congruente al ángulo porque .
El segmento es congruente a él mismo.
Entonces, el triángulo es congruente al triángulo por el teorema de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado.
Por lo tanto, .
Student Lesson Summary
Si todas las parejas de lados y ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes, entonces podemos encontrar una transformación rígida que lleve los vértices de un triángulo a los vértices correspondientes del otro. Esto demuestra que si todas las parejas de lados y ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes, entonces los dos triángulos deben ser congruentes. Pero para justificar que los vértices coinciden no necesitamos usar todas las congruencias. Podemos justificar que dos triángulos son congruentes con solo saber que hay dos parejas de lados correspondientes congruentes y que los ángulos que forman también son congruentes. Esto se llama el teorema de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado.
Para concluir que dos triángulos, o dos partes de dos triángulos, son congruentes, observa si la información dada o el diagrama indican que 2 parejas de lados correspondientes son congruentes y que el ángulo que ellos forman es congruente a su ángulo correspondiente. De ser así, no necesitamos mostrar ni justificar todas las transformaciones que llevan un triángulo al otro. En cambio, podemos explicar por qué sabemos que dos parejas de lados correspondientes son congruentes y los ángulos que ellos forman también son congruentes, y concluir que los triángulos deben ser congruentes por el teorema de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado.
A veces, para demostrar la congruencia de dos triángulos, debemos añadir rectas al diagrama. Podemos definir qué propiedades tienen esas rectas basándonos en la forma en que las construimos (¿es una bisectriz?, ¿una mediatriz?, ¿una recta que une dos puntos dados?). A esas rectas, los matemáticos las llaman rectas auxiliares porque “auxiliar“ significa que “da ayuda o soporte adicional”. Estas rectas nos permiten ver triángulos que están ocultos.