Encontremos funciones inversas para resolver problemas
Matemáticas integradas 1
19.1
Activity
0 mins
Agua en un tanque
Standards Alignment
Building On
HSF-IF.B.6
Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph.
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
La función representa la relación entre el tiempo , en minutos, y la cantidad de agua que hay en cierto tanque, en litros. La ecuación define esta función.
Discute con un compañero:
¿Cómo cambia la cantidad de agua que hay en el tanque? Sé tan preciso como puedas.
¿Qué representa ? ¿Es la entrada o la salida de esta función?
Dibuja la gráfica de la función. Asegúrate de marcar los ejes.
Activity Synthesis
None
19.2
Activity
0 mins
Otra mirada al tanque
Instructional Routines
None
Materials
None
Activity Narrative
None
19.3
Activity
0 mins
Teléfonos en hogares
Instructional Routines
None
Materials
None
Activity Narrative
None
Student Lesson Summary
El agua de lluvia que hay en un barril se usa para regar las plantas de un jardín. La función da el volumen de agua que queda en el barril, en galones, minutos después de que se empezó a usar el agua. Esta ecuación representa la función:
A partir de la ecuación y la descripción, vemos que al comienzo había 60 galones de agua en el barril y que se vaciaba a una tasa constante de 2.25 galones por minuto.
Esta ecuación es útil para encontrar la cantidad de agua que queda en el barril después de cierto número de minutos. En otras palabras, nos permite encontrar la salida, , cuando conocemos la entrada, .
Supongamos que queremos saber cuántos minutos deben transcurrir para que queden 20 galones de agua en el barril o saber en cuánto tiempo se va a desocupar el barril. Encontremos la inversa de la función para que el volumen de agua sea la entrada y el tiempo sea la salida.
Podemos despejar como lo hemos hecho antes aunque en la ecuación se use notación de funciones:
Esta ecuación ahora nos da como la salida y como la entrada. Podemos encontrar o estimar fácilmente en cuánto tiempo van a quedar 20 galones en el barril reemplazando por 20 y luego evaluando . También podemos encontrar en cuánto tiempo van a quedar 0 galones reemplazando por 0 y luego evaluando .
Have feedback on the curriculum?
Help us improve by sharing suggestions or reporting issues.
Un tanque tiene 80 litros de agua. La función representa la relación entre el tiempo , en minutos, y la cantidad de agua que hay en el tanque, en litros. La ecuación define esta función.
¿Cuánta agua habrá en el tanque después de 13 minutos?
¿Al cabo de cuántos minutos habrá solo 5 litros de agua en el tanque?
En esta situación, ¿qué información nos daría la función inversa de ?
Encuentra la función inversa de . Prepárate para explicar o mostrar tu razonamiento.
¿Cómo crees que la gráfica de la inversa de se relaciona con la gráfica de ? Describe o dibuja cómo crees que se relacionan.
Student Response
None
Building on Student Thinking
Activity Synthesis
None
Launch
None
Activity
None
Student Task Statement
En el año 2004, menos del 5% de los hogares en los Estados Unidos tenían una línea telefónica de celular en vez de una línea telefónica fija. Desde ese entonces, el porcentaje de hogares que solo usa líneas telefónicas de celular ha aumentado.
Estos son los porcentajes de hogares que solo tenían líneas telefónicas de celular del 2004 al 2009.
años después de 2004
porcentaje
0
4.4
1
6.7
2
9.6
3
13.6
4
17.5
5
22.7
Graph of data, origin O. Horizontal axis, 0 to 5, years since 2004. Vertical axis, 0 to 24, percentage. Data points at 0 comma 4 point 4, 1 comma 6 point 7, 2 comma 9 point 6, 3 comma 13 point 6, 4 comma 17 point 5, and 5 comma 22 point 7.
Supongamos que una función lineal, , da el porcentaje de hogares que solo tienen líneas telefónicas de celular como función del número de años después de 2004, .
Encuentra una recta que se ajuste al diagrama de dispersión y que represente esta función. Escribe una ecuación que defina la función. Usa notación de funciones.
Usa tu ecuación para hallar el valor de . Explica qué significa ese valor en esta situación.
Usa tu ecuación para despejar en la ecuación . ¿Qué representa la solución que encontraste?
Supongamos que queremos saber cuántos años después de 2004 el porcentaje de hogares que solo tienen líneas telefónicas de celular va a llegar a 50%, 75% o 100% (suponiendo que la tendencia se mantenga y la función siga siendo válida). ¿Qué ecuación podemos escribir para encontrar los años que corresponden a esos porcentajes? Muestra tu razonamiento.
Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models.
