Esta semana nuestros estudiantes van a trabajar con exponentes. En una expresión como \(7^n\), llamamos \(n\) al exponente. Este nos indica cuántas veces multiplicar el factor por sí mismo. Por ejemplo, \(7^4\) es igual a \(7 \boldcdot 7 \boldcdot 7 \boldcdot 7\).

Los estudiantes escriben expresiones en las que los exponentes son números enteros y los factores pueden ser:

• Números enteros, como \(7^4\).
• Fracciones, como \(\left(\frac17\right) ^ 4\).
• Decimales, como \((7.7)^4\).
• Variables, como \(x^4\).

Los estudiantes también encuentran soluciones de ecuaciones con exponentes. Por ejemplo, 2 es una solución de \(x^5=30+x\) porque al reemplazar \(x\) por 2 la ecuación es verdadera: \(2^5\) es \(2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 2\), que es 32 y es igual a \(30+2\). Por otro lado, 1 no es una solución, pues \(1^5\) no es igual a \(30+1\).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Encuentren la solución de cada ecuación buscándola en la lista de valores dada.

Solución:

1. 7, porque \(7^2=49\). (Observen que -7 también es una solución, pero la multiplicación de números negativos no se ha estudiado en grado 6).
2. 3, porque \(4^3=64\)
3. 1, porque \(4^1=4\)
4. \(\frac{9}{16}\), porque \(\left(\frac{3}{4}\right)^2\) significa \(\left(\frac{3}{4}\right) \boldcdot \left(\frac{3}{4}\right)\)
5. 0.008, porque \(0.2^3\) significa \((0.2) \boldcdot (0.2) \boldcdot (0.2)\)
6. \(\frac12\), porque \(\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)
7. ¡Cualquier número! \(1^n=1\) es verdadero sin importar qué número usen como valor de \(n\).

Esta semana nuestros estudiantes van a aprender a visualizar, escribir y resolver ecuaciones. En grados anteriores, hicieron este trabajo con números. En grado 6, empezarán a usar una letra llamada variable para representar un número cuyo valor es desconocido. 

Las tres partes del diagrama están marcadas con la misma variable, \(x\), entonces, cada parte representa el mismo número. Podemos escribir ecuaciones para representar la misma relación que se muestra en el diagrama. Por ejemplo,  \(x+x+x=15\) y \(15=3x\).

Una solución de una ecuación es un número que se usa en vez de la variable y que hace que la ecuación sea verdadera. En el ejemplo dado, la solución es 5. Al reemplazar \(x\) por 5 en cada ecuación se obtiene una afirmación verdadera: \(5+5+5=15\) y \(15=3 \boldcdot 5\). Podemos decir, por ejemplo, que 4 no es una solución, porque \(4+4+4\) no es igual a 15.

Resolver una ecuación es un proceso para hallar una solución. Una ecuación como \(15=3x\) puede resolverse dividiendo entre 3 la expresión que está a cada lado del signo igual. Al hacer esto se obtiene \(15 \div 3\), o 5, en un lado y  \(3x \div 3\), o \(x\), en el otro. \(5=x\) es la solución de la ecuación.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Dibujen un diagrama que represente cada ecuación. Luego, resuelvan cada ecuación.

Solución:

Esta semana, nuestros estudiantes van a estudiar relaciones entre dos cantidades en las que una cantidad influye en la otra.

Esta relación también se puede representar con ecuaciones y gráficas. Estas son dos ecuaciones y dos gráficas que podemos crear:

En la primera ecuación, el valor en centavos depende del número de monedas, entonces decimos que \(v\) es la variable dependiente y \(n\) es la variable independiente. En la segunda ecuación, sucede lo contrario.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Un cliente está comprando bolsas de papel para regalo. El costo de cada bolsa de regalo es \$0.75.

1. Escriban una ecuación que muestre el costo de las bolsas para regalo, \(c\), en términos del número de bolsas compradas, \(n\).
2. Elaboren una gráfica que represente la relación entre \(c\) y \(n\).
3. ¿Cuáles son las coordenadas de algunos puntos de su gráfica? ¿Qué representan?

Solución:

1. \(c=0.75n\). Cada bolsa para regalo cuesta \$0.75 y el cliente compra \(n\) de estas, entonces el costo es \(0.75n\).
2. Ejemplo de respuesta: 

   

3. Ejemplo de respuesta: \((2,1.50)\) y \((10,7.50)\). Las coordenadas nos indican que 2 bolsas para regalo cuestan \$1.50 y 10 bolsas para regalo cuestan \$7.50.

Esta semana nuestros estudiantes van a escribir expresiones matemáticas y a pensar sobre lo que significa que las expresiones sean equivalentes.

En grados anteriores, los estudiantes aprendieron que para encontrar \(4 \boldcdot 15\), pueden calcular \(4 \boldcdot 10\) y \(4 \boldcdot 5\) por separado y luego sumar los productos. Este proceso es como encontrar el área de un rectángulo que mide 4 unidades de ancho por 15 unidades de largo. El lado de 15 unidades de largo se descompone en 10 y 5.

Las expresiones con variables también pueden ser equivalentes. De nuevo, los diagramas pueden ser útiles para entender esto.

En este diagrama, uno de los lados del rectángulo grande mide 3 unidades y el otro mide \(x + 2\) unidades. El área del rectángulo grande es \(3 \boldcdot (x+2)\).

Las expresiones \(3 \boldcdot (x+2)\) y \(3 \boldcdot x + 3 \boldcdot 2\) representan el área del mismo rectángulo. Tienen el mismo valor, sin importar cuál sea el valor de \(x\). Las dos expresiones son equivalentes. Podemos escribir: 

Este es un ejemplo de la propiedad distributiva de la multiplicación. En este caso, cada término de \(x+2\) se multiplica por 3, es decir, la multiplicación se “distribuye” entre los términos.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Dibujen y marquen un rectángulo partido para mostrar que cada una de estas ecuaciones siempre es verdadera, sin importar el valor de las letras.

Solución: