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Grado 8
Los ángulos alternos internos se crean cuando una recta cruza 2 rectas paralelas. Esta recta se llama una recta transversal. Los ángulos alternos internos están en la franja que se forma entre las dos rectas paralelas y en lados opuestos de la transversal.
Este diagrama muestra 2 pares de ángulos alternos internos:
- Los ángulos \(a\) y \(d\)
- Los ángulos \(b\) y \(c\)
There are two horizontal parallel lines, and a third diagonal line drawn from the bottom left to the upper right, intersecting both horizontal lines. The diagonal line is labeled transversal. There are four angles created by the diagonal line inside the parallel lines. The upper left angle is labeled a, upper right is b, lower left is c, and lower right is d.
Los ángulos opuestos comparten el mismo vértice. Se forman cuando dos rectas se intersecan. Sus medidas de ángulo son iguales.
Los ángulos \(AEC\) y \(DEB\) son ángulos opuestos. Si el ángulo \(AEC\) mide \(120^\circ\), entonces el ángulo \(DEB\) también debe medir \(120^\circ\).
Los ángulos \(AED\) y \(BEC\) son otro par de ángulos opuestos.
Una asociación negativa es una relación entre 2 cantidades en la cual una tiende a disminuir cuando la otra aumenta. En un diagrama de dispersión, los puntos de datos tienden a agruparse alrededor de una recta con pendiente negativa.
Este diagrama de dispersión muestra una asociación negativa entre el precio de un libro y el número de libros vendidos.
Una asociación positiva es una relación entre 2 cantidades en la cual una tiende a aumentar cuando la otra aumenta. En un diagrama de dispersión, los puntos de datos tienden a agruparse alrededor de una recta con pendiente positiva.
Este diagrama de dispersión muestra una asociación positiva entre la altura del perro y el peso del perro.
En expresiones como \(5^3\) y \(8^2\), el 5 y el 8 son bases. La base indica qué factor se multiplica repetidamente. Por ejemplo, \(5^3\) = \(5 \boldcdot 5 \boldcdot 5\) y \(8^2 = 8 \boldcdot 8\).
Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.
Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada cateto está marcado.
Un cilindro es una figura tridimensional parecida a un prisma, pero con 2 bases que son círculos.
Un coeficiente es un número que se multiplica por una variable.
- En la expresión \(3x+5\), el coeficiente de \(x\) es 3.
- En la expresión \(y+5\), el coeficiente de \(y\) es 1, porque \(y=1 \boldcdot y\).
Una figura es congruente a otra si puede moverse con traslaciones, rotaciones y reflexiones para coincidir exactamente con la otra.
En la figura, el triángulo A es congruente a los triángulos B, C y D.
- Una traslación lleva al triángulo A al triángulo B.
- Una rotación lleva el triángulo B al triángulo C.
- Una reflexión lleva el triángulo C al triángulo D.
En una relación proporcional, todos los valores de una cantidad se multiplican por un mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. Este número se llama la constante de proporcionalidad.
En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3.
Las partes correspondientes son las partes que coinciden entre una figura y su copia a escala. Estas partes tienen la misma posición relativa. Los puntos, segmentos, ángulos o distancias pueden ser partes correspondientes.
El punto \(B\) en el primer triángulo corresponde al punto \(E\) en el segundo triángulo. El segmento \(AC\) corresponde al segmento \(DF\).
Un dato atípico es un valor que está lejos de los demás valores del conjunto de datos.
Este diagrama de dispersión muestra 1 dato atípico.
Un decimal periódico tiene dígitos que aparecen una y otra vez, siguiendo el mismo patrón. Los dígitos que se repiten se marcan con una raya encima de ellos.
- La representación decimal de \(\frac13\) es \(0.\overline{3}\), que significa 0.3333333...
- La representación decimal de \(\frac{25}{22}\) es \(1.1\overline{36}\), que significa 1.136363636...
Un diagrama de dispersión es un gráfico que muestra los valores de 2 variables en un plano de coordenadas. Se puede usar para buscar relaciones entre las dos variables.
Cada punto de este diagrama de dispersión representa la altura y el peso de 1 perro.
Una dilatación es una transformación que puede reducir o ampliar una figura. Cada punto de la figura se mueve a lo largo de una recta más cerca o más lejos de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de la dilatación. Todas las distancias originales se multiplican por el mismo factor de escala.
El triángulo \(DEF\) es una dilatación del triángulo \(ABC\). El centro de la dilatación es \(O\) y el factor de escala es 3.
Todos los puntos del triángulo \(DEF\) están 3 veces tan lejos de \(O\) como todos los puntos correspondientes del triángulo \(ABC\).
El término en sentido contrario a las manecillas del reloj significa que se gira en la dirección opuesta a la que giran las manecillas de un reloj. El punto de arriba gira hacia la izquierda.
Este diagrama muestra que la figura A gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y se forma la figura B.
El término en sentido de las manecillas del reloj significa que se gira en la misma dirección en la que giran las manecillas de un reloj. El punto de arriba gira hacia la derecha.
Este diagrama muestra que la figura A gira en sentido de las manecillas del reloj y se forma la figura B.
Una esfera es una figura tridimensional en la que todas sus secciones transversales son círculos.
En expresiones como \(5^3\) y \(8^2\), los números 3 y 2 se llaman exponentes. Estos indican cuántas veces un número se usa como un factor.
Por ejemplo, \(5^3\) = \(5 \boldcdot 5 \boldcdot 5\), y \(8^2 = 8 \boldcdot 8\).
Para crear una copia a escala de una figura, se multiplican todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Este número se llama el factor de escala.
En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque \(4 \boldcdot (1.5) = 6\), \(5 \boldcdot (1.5)=7.5\) y \(6 \boldcdot (1.5)=9\).
La frecuencia relativa de una categoría indica la proporción en la cual esa categoría ocurre en un conjunto de datos. Se escribe como una fracción, un decimal o un porcentaje del número total.
Por ejemplo, había 21 perros en un parque. Esta tabla muestra la frecuencia y la frecuencia relativa de cada color de perro.
| color de perro | frecuencia | frecuencia relativa |
|---|---|---|
| blanco | 5 | \(\frac{5}{21}\) |
| marrón | 7 | \(\frac{7}{21}\) |
| negro | 3 | \(\frac{3}{21}\) |
| multicolor | 6 | \(\frac{6}{21}\) |
Una función es una regla que tiene exactamente 1 salida por cada entrada posible.
En la función \(y=6x+4\), \(x\) es la entrada y \(y\) es la salida. Cuando \(x\) es 5, \(y\) tiene un valor, 34.
\(\begin{align} y&=6x+4\\ y&=6(5)+4 \\ y&=34 \\ \end{align} \)
Un gráfico de barras segmentadas muestra categorías dentro de un conjunto de datos. Cada barra completa representa todos los datos de una categoría principal. Cada barra está separada en partes (segmentos) que muestran subcategorías.
Stacked bar graph in blue and yellow stripes. Horizontal labeled 10 to 12 years old, 13 to 15 years old and 16 to 18 years old. Vertical labeled 0 to 100, by 25's. Blue section means has cell phone. Yellow stripes means has no cell phone.
Este gráfico de barras segmentadas muestra el porcentaje de personas en distintos grupos de edad que tienen y no tienen un teléfono celular. Por ejemplo, entre las personas de 10 a 12 años de edad, aproximadamente el 40% tiene celular y el 60% no tiene celular.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada hipotenusa está marcada.
Una imagen es el resultado de aplicar traslaciones, rotaciones y reflexiones a un objeto. Cada parte del objeto original se mueve de la misma manera para coincidir con una parte de la imagen.
El triángulo \(ABC\) fue trasladado hacia arriba y hacia la derecha, y se formó el triángulo \(DEF\). El triángulo \(DEF\) es la imagen del triángulo original \(ABC\).
La intersección con el eje vertical es el punto en el cual la gráfica de una recta se cruza con el eje vertical
La intersección con el eje vertical de esta recta es \((0,\text-6)\) o simplemente -6.
La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños. Se escriben como un producto. El primer factor es un número mayor que 1 o igual a 1, pero menor que 10. El segundo factor es una potencia de 10.
- El número 425,000,000 en notación científica es \(4.25 \times 10^8\).
- El número 0.0000000000783 en notación científica es \(7.83 \times 10^{\text-11}\).
Un número entero es un tipo de número. El opuesto de un número entero positivo también es un número entero.
Las marcas en esta recta numérica muestran todos los números enteros del -10 al 10.
Un número irracional es un número que no es racional. No se puede escribir como una fracción positiva ni una fracción negativa ni cero.
Pi (\(\pi\)) y \(\sqrt{2}\) son ejemplos de números irracionales.
Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción positiva, una fracción negativa o cero. Se puede escribir en la forma \(\frac{a}{b}\) donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a 0.
Por ejemplo, 0.7 es un número racional porque se puede escribir como \(\frac{7}{10}\).
Estos son ejemplos de números racionales: \(\frac74,0,\frac63,0.2,\text-\frac13,\text-5,\sqrt9\)
La pendiente es un número que describe qué tan empinada es una recta. Para encontrar la pendiente, se divide el cambio vertical entre el cambio horizontal para cualesquiera dos puntos de la recta.
La pendiente de esta recta es 2 dividido entre 3, que es \(\frac23\).
El plano de coordenadas es una forma de representar pares de números. El plano está formado por una recta numérica horizontal y una recta numérica vertical que se intersecan en 0.
Se pueden usar pares de números para describir la ubicación de un punto en el plano de coordenadas.
El punto \(R\) está ubicado en \((3,\text-2)\). Esto significa que \(R\) está 3 unidades a la derecha y 2 unidades debajo de \((0,0)\).
Un radio es un segmento de recta que va desde el centro de un círculo hasta cualquier punto en el círculo. La longitud de este segmento también se llama radio. Todos los radios de un círculo tienen la misma longitud.
Por ejemplo, \(r\) es el radio de este círculo con centro \(O\).
La raíz cuadrada de un número positivo \(n\) es el número positivo que al elevar al cuadrado da \(n\). También es la longitud de lado de un cuadrado de área \(n\). La raíz cuadrada de \(n\) se escribe \(\sqrt{n}\).
La raíz cuadrada de 16 se escribe \(\sqrt{16}\). Su valor es 4 porque \(4^2\) es 16.
\(\sqrt{16}\) también es la longitud de lado de un cuadrado de área 16.
La raíz cúbica de un número \(n\) es el número que al elevar al cubo da \(n\). También es la longitud de una arista de un cubo de volumen \(n\). La raíz cúbica de \(n\) se escribe \(\sqrt[3]{n}\).
La raíz cúbica de 64 se escribe \(\sqrt[3]{64}\). Su valor es 4 porque \(4^3\) es 64.
\(\sqrt[3]{64}\) también es la longitud de una arista de un cubo de volumen 64.
Una reflexión es una transformación que “voltea” una figura con respecto a una recta. Cada punto de la figura se mueve a un punto ubicado directamente al lado opuesto de la recta. Los puntos nuevos están a la misma distancia de la recta que en la figura original.
Este diagrama muestra una reflexión de A con respecto a la recta \(\ell\). Con la reflexión se forma la imagen de espejo B.
Hay una relación lineal entre dos cantidades cuando:
- Una cantidad cambia en una cantidad fija siempre que la otra cantidad cambia en una cantidad fija.
- La tasa de cambio es constante.
- La gráfica de la relación es una recta.
Esta gráfica muestra una relación lineal entre el número de días y el número de páginas leídas.
Cuando el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas siempre aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por cada día.
Una rotación es una transformación que “gira” una figura. Cada punto de la figura se mueve alrededor de un centro con un ángulo dado y en una dirección específica.
Este diagrama muestra que para obtener el triángulo B, se rota el triángulo A 55 grados alrededor del centro \(O\) y en sentido de las manecillas del reloj.
Una secuencia de transformaciones es un conjunto de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que se aplican a una figura en un orden determinado.
Este diagrama muestra una secuencia de transformaciones que lleva la figura A a la figura C.
Primero, A se traslada hacia la derecha y se forma B. Luego, B se refleja con respecto a la recta \(\ell\) y se forma C.
Dos figuras son semejantes si se puede hacer que una de ellas coincida exactamente con la otra al realizar transformaciones.
Esta figura muestra que el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\).
- Se rota el triángulo \(ABC\) alrededor del punto \(B\).
- Después se dilata con el punto \(O\) como centro.
- La imagen coincidirá exactamente con el triángulo \(DEF\).
A sequence of transformations. Triangle ABC is rotated around point B and and then dilated with center point O to fit exactly over Triangle DEF. Triangle ABC is similar to triangle DEF.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 o más ecuaciones. Cada ecuación tiene 2 o más variables. Una solución del sistema son valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas.
Estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones:
\(\displaystyle \begin{cases} x + y = \text-2\\x - y = 12\end{cases}\)
La solución de este sistema es \(x=5\) y \(y=\text-7\). Cuando las variables \(x\) y \(y\) se reemplazan por estos valores, ambas ecuaciones son verdaderas: \(5+(\text-7)=\text-2\) y \(5-(\text-7)=12\).
Una solución de una ecuación en 2 variables es un par de valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera.
Por ejemplo, una solución de la ecuación \(4x+3y=24\) es \((6,0)\). Al remplazar \(x\) por 6 y \(y\) por 0, la ecuación es verdadera porque \(4(6)+3(0)=24\).
Una tabla de doble entrada muestra datos de 2 variables categóricas. Una variable se muestra en filas y la otra en columnas. Cada entrada es la frecuencia o la frecuencia relativa de la categoría que muestran los encabezados de esa columna y esa fila.
Esta tabla de doble entrada muestra los resultados de un estudio sobre cómo la meditación afecta la forma en que se sienten los atletas.
| meditó | no meditó | total | |
|---|---|---|---|
| calmado | 45 | 8 | 53 |
| agitado | 23 | 21 | 44 |
| total | 68 | 29 | 97 |
La tasa de cambio es la cantidad que \(y\) cambia cuando \(x\) aumenta en 1. En una gráfica, la tasa de cambio es la pendiente de la recta.
En esta gráfica, \(y\) aumenta en 15 dólares cuando \(x\) aumenta en 1 hora. La tasa de cambio es 15 dólares por cada hora.
Graph, horizontal axis, time in hours, scale 0 to 9, by 1's. vertical axis, amount earned in dollars, scale 0 to 140, by 20's. line starting at 0 comma 10, passing through 2 comma 40 and 60 comma 100.
El teorema de Pitágoras describe la relación entre las longitudes de los lados de triángulos rectángulos.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto se escribe así: \(a^2+b^2=c^2\).
Este diagrama muestra la relación.
Los términos son partes de una expresión que se suman. Pueden ser un solo número, una variable o la multiplicación de un número y una variable.
- 7, \(y\) y \(9a\) son ejemplos de términos.
- La expresión \(5x+3-18\) tiene 3 términos: \(5x\), 3 y -18.
En una expresión como \(5x+2\), el número 2 se llama el término constante. No cambia cuando la variable \(x\) cambia.
- En la expresión \(7x+9\), el término constante es 9.
- En la expresión \(5x+(\text-8)\), el término constante es -8.
- En la expresión \(12-4x\), el término constante es 12.
Una teselación es un patrón, de una o más figuras, que se repite. Los lados de las figuras coinciden perfectamente sin dejar espacios ni sobreponerse. El patrón se repite infinitamente en todas las direcciones.
Este diagrama muestra parte de una teselación.
Una transformación es una traslación, una rotación, una reflexión, una dilatación o una combinación de ellas.
Una transformación rígida de una figura es una movida que no cambia ninguna de las medidas de la figura. Las traslaciones, rotaciones y reflexiones son transformaciones rígidas. Cualquier secuencia de ellas también es una transformación rígida.
Una transversal es una recta que cruza rectas paralelas.
Este diagrama muestra una recta transversal \(k\) que cruza a las rectas paralelas \(m\) y \(\ell\).
Una traslación es una transformación que “desliza” una figura sobre una recta. Cada punto de la figura se mueve cierta distancia en cierta dirección.
Este diagrama muestra una traslación de la figura A a la figura B de acuerdo a la dirección y a la distancia dadas por la flecha.
Una variable dependiente representa la salida de una función.
Por ejemplo, alguien necesita comprar 20 frutas y decide comprar manzanas y bananos. Si selecciona primero el número de manzanas, la ecuación \(b=20-a\) muestra el número de bananos que puede comprar. El número de bananos es la variable dependiente porque depende del número de manzanas.
Una variable independiente representa la entrada de una función.
Por ejemplo, supón que alguien necesita comprar 20 frutas y decide comprar algunas manzanas y bananos. Si selecciona primero el número de manzanas, la ecuación \(b=20-a\) da el número de bananos que puede comprar. El número de manzanas es la variable independiente porque se puede elegir cualquier número como su valor.
Un vértice es un punto en donde 2 o más lados (aristas) se encuentran.
Los vértices de este polígono son \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).