Esta semana nuestros estudiantes van a resolver ecuaciones lineales. Podemos pensar en un colgador balanceado como una metáfora de una ecuación. Una ecuación dice que las expresiones de cada lado del signo \(=\) tienen el mismo valor, así como un colgador balanceado tiene el mismo peso a cada lado.

Podemos hacer lo mismo con ecuaciones: sumar o restar la misma cantidad a cada lado de la ecuación hace que un lado siga siendo igual al otro. Por ejemplo, si \(4x+20\) y \(\text-6x +10\) tienen el mismo valor, podemos escribir la ecuación \(4x+20=\text-6x+10\). Podríamos sumar -10 a ambos lados de la ecuación o dividir ambos lados de la ecuación entre 2, y mantener ambos lados iguales. Si usamos estas movidas de manera sistemática, podemos encontrar que \(x=\text-1\) es una solución de esta ecuación.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Elena y Noah trabajan con la ecuación \(\frac12 \left(x+4\right) = \text-10+2x\). La solución de Elena es \(x=24\) y la solución de Noah es \(x=\text-8\). Esto fue lo que hicieron:

¿Están de acuerdo con sus soluciones? Expliquen o muestren su razonamiento.

Solución:

No, ambos cometieron errores en su solución.

En su primer paso, Elena multiplicó ambos lados de la ecuación por 2, pero olvidó multiplicar el \(2x\) por el 2. También podemos verificar si la respuesta de Elena es correcta reemplazando \(x\) por 24 en la ecuación original y verificando si la ecuación es verdadera. \(\displaystyle \frac12 \left(x+4\right) =\text -10+2x\) \(\displaystyle \frac12 \left(24+4\right) =\text -10+2(24)\) \(\displaystyle \frac12 \left(28\right) = \text-10+48\) \(\displaystyle 14=38\) Como 14 no es igual a 38, la respuesta de Elena no es correcta.

En su último paso, Noah dividió ambos lados entre -3, pero escribió -8 en vez de \(8\) al calcular \(\text-24 \div \text-3\). También podemos verificar la respuesta de Noah reemplazando \(x\) por -8 en la ecuación original y verificando si la ecuación es verdadera. La respuesta de Noah no es correcta.

Esta semana nuestros estudiantes van a trabajar con sistemas de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 (o más) ecuaciones en las cuales las letras representan los mismos valores. Por ejemplo, supongamos que el automóvil A viaja a 75 millas por hora y pasa una zona de descanso. La distancia recorrida (en millas) desde la zona de descanso luego de un tiempo de \(t\) horas es \(d=75t\). El automóvil B viaja hacia la zona de descanso y su distancia a ella en cualquier tiempo es \(d=14-65t\). Podemos preguntarnos si habrá un cierto tiempo en el cual la distancia del automóvil A a la zona de descanso sea la misma que la distancia del automóvil B a la zona de descanso. Si la respuesta es “sí”, entonces la solución corresponde a un punto que se encuentra sobre ambas rectas, como el punto \((0.1, 7.5)\) que se muestra abajo. Esto significa que 0.1 horas después de que el automóvil A pasa la zona de descanso, ambos automóviles están a 7.5 millas de la zona de descanso.

También podríamos responder a la pregunta sin usar una gráfica. Porque estamos preguntando cuándo los valores de \(d\) para cada automóvil serán iguales, es decir, estamos preguntando por el valor de \(t\), si existe, que haga que \(75t=14-65t\) sea verdadera. Cuando resolvemos la ecuación para encontrar \(t\), obtenemos que \(t=0.1\) es una solución y que, en ese momento, los dos automóviles están a 7.5 millas de distancia de la zona de descanso, porque \(75t=75\boldcdot 0.1=7.5\). Este resultado coincide con la gráfica.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Lin y Diego van en sus bicicletas por el mismo camino en la misma dirección, pero comenzaron en distintos momentos. Diego va a una rapidez constante de 18 millas por hora. Por lo tanto, si \(d\) representa la distancia en millas que ha recorrido y \(t\) representa el tiempo en horas del recorrido, entonces \(d=18t\). Lin comenzó su viaje un cuarto de hora antes que Diego a una rapidez constante de 12 millas por hora. Por lo tanto, si \(d\) representa la distancia total en millas que ha recorrido, entonces \(d=12\left(t+\frac14 \right)\). ¿Cuándo se encontrarán Lin y Diego?

Solución:

Para averiguar cuándo se encuentran Lin y Diego, es decir, cuándo han recorrido la misma distancia total, podemos igualar las dos distancias (es decir, las dos expresiones de la distancia) \(18t=12\left(t+\frac14 \right)\) y resolver la ecuación para encontrar \(t\):  \(18t=12t+3\), \(6t=3\), \(t=\frac12\).

Se encuentran justo cuando Diego haya montado bicicleta durante media hora y Lin haya montado bicicleta durante tres cuartos de hora. La distancia que ambos recorren antes de encontrarse es 9 millas, porque podemos usar \(\frac{1}{2}\) como valor de \(t\) en la ecuación de Diego y ver que \(9=18 \boldcdot \frac12\). Otra forma de encontrar la solución sería graficar \(d=18t\) y \(d=12\left(t+\frac14 \right)\) en el mismo plano de coordenadas e interpretar el punto en el cual las dos rectas se intersecan.