Esta semana nuestros estudiantes van a aprender las reglas para multiplicar y dividir expresiones con exponentes. Los exponentes son una forma de llevar la cuenta de una multiplicación que se repite. Por ejemplo, en vez de escribir \(8 \boldcdot 8 \boldcdot 8 \boldcdot 8 \boldcdot 8 \boldcdot 8 \boldcdot 8\), podemos escribir \(8^7\). El número que se multiplica repetidamente se llama la base, que en este caso es 8. El 7 se llama el exponente y nos indica cuántas veces multiplicar la base. 

Usando nuestra comprensión de la multiplicación repetida, descubriremos varias “reglas” de los exponentes. Por ejemplo, supongamos que queremos comprender la expresión \(10^3 \boldcdot 10^4\). Si la reescribimos para obtener todos los factores, obtenemos \((10\boldcdot 10 \boldcdot 10) \boldcdot (10\boldcdot 10 \boldcdot 10\boldcdot 10)\). Como en realidad esto es siete veces el número 10 multiplicado por sí mismo, podemos escribir \(10^3 \boldcdot 10^4 = 10^7\).

Si usamos un razonamiento similar, podemos entender que la expresión \((10^3)^2\) puede reescribirse para mostrar todos los factores así: \((10\boldcdot10\boldcdot10)\boldcdot(10\boldcdot10\boldcdot10)\). Como estos son dos grupos de tres factores de 10, podemos escribir \((10^3)^2=10^6\).

Cuando dividimos expresiones con exponentes, como \(\frac{10^5}{10^2}\), podemos nuevamente escribir todos los factores y obtener \(\frac{10\boldcdot10\boldcdot10\boldcdot10\boldcdot10}{10\boldcdot10}\). Sabemos que \(\frac{10\boldcdot10}{10\boldcdot10}=1\), entonces \(\frac{10^5}{10^2}=\frac{(10\boldcdot10)\boldcdot10\boldcdot10\boldcdot10}{10\boldcdot10}=\frac{10\boldcdot10}{10\boldcdot10}\boldcdot10\boldcdot10\boldcdot10=10^3\).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. ¿En qué se diferencian las expresiones \(10^4\boldcdot 10^5\) y \((10^4)^5\)?
2. ¿Cuál expresión tiene un valor mayor: \(\frac{10^7}{10^3}\) o \(\frac{10^{15}}{10^{13}}\)? Explica tu razonamiento.

Solución:

1. Cuando escribimos \(10^4\boldcdot 10^5\) para mostrar todos los factores, obtenemos \((10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10) \boldcdot (10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10) \). Podemos ver que hay un total de nueve veces multiplicado 10, entonces \(10^4\boldcdot 10^5=10^9\). Cuando reescribimos \((10^4)^5\) como\(10^4\boldcdot 10^4\boldcdot 10^4\boldcdot 10^4\boldcdot 10^4\), podemos ver que hay 5 grupos de cuatro veces 10 multiplicado por sí mismo. Eso significa que \((10^4)^5=10^{20}\).
2. \(\frac{10^7}{10^3}\) tiene el valor mayor. Ejemplo de razonamiento:
   \(\frac{10^7}{10^3}=\frac{10^3}{10^3}\boldcdot 10^4=10^4\), mientras que \(\frac{10^{15}}{10^{13}}=\frac{10^{13}}{10^{13}}\boldcdot 10^2=10^2\), y \(10^4\) es mayor que \(10^2\).

Esta semana nuestros estudiantes van a usar potencias de 10 para trabajar con números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la Casa de la Moneda de los Estados Unidos ha producido más de 500,000,000,000 de monedas de un centavo. Para comprender este número, podemos observar el número de ceros que tiene. El 500 seguido de nueve ceros nos indica que la Casa de la Moneda hizo alrededor de 500 billones de monedas de un centavo.

Si usamos potencias de 10, podemos escribir esto como \(500\boldcdot10^9\) (quinientas veces un billón), o también como \(5 \boldcdot 10^{11}\). En este ejemplo, observamos cómo 500 se volvió 100 veces más pequeño y \(10^9\) se volvió \(10^2\) (o 100) veces más grande, manteniendo igual el valor de la expresión.

La ventaja de usar potencias de 10 para escribir un número grande es que nos ayudan a entender de inmediato qué tan grande es el número al mirar el exponente.

Lo mismo es cierto para cantidades pequeñas. Por ejemplo, un átomo de carbono pesa aproximadamente 0.0000000000000000000000199 gramos.

Usando potencias de 10, podemos escribir esto como \(199\boldcdot10^{\text-25}\) o como su equivalente: \((1.99) \boldcdot 10^{-23}\).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Escriban el número 47,000,000 como un múltiplo de una potencia de 10. 
2. Escriban el número 47,000,000 como un múltiplo distinto de una potencia de 10.
3. Escriban el número 0.00038 como un múltiplo de una potencia de 10.
4. Escriban el número 0.00038 como un múltiplo distinto de una potencia de 10.

Solución:

1. Ejemplos de respuestas: \(47\boldcdot10^6\), \(4.7\boldcdot10^7\), \(0.47\boldcdot10^8\), \(470\boldcdot10^5\)
2. Ver respuesta anterior.
3. Ejemplo de respuestas: \(38\boldcdot10^{\text-5}\), \(3.8\boldcdot10^{\text-4}\), \(0.338\boldcdot10^{\text-3}\), \(380\boldcdot10^{\text-6}\)
4. Ver respuesta anterior.

Esta semana, nuestros estudiantes van a conocer una forma específica de escribir números llamada notación científica. La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños. Escribimos estos números multiplicando un número entre 1 y 10 por una potencia de 10.

Por ejemplo, el número 425,000,000 en notación científica es \(4.25\times10^8\). El número 0.0000000000783 en notación científica es \(7.83\times10^{\text-11}\). Observen cómo en ambos ejemplos el primer factor es mayor que o igual a 1 pero menor que 10.

La notación científica es útil para escribir números grandes o pequeños porque la potencia de 10 puede mostrarnos rápidamente qué tan grande o pequeño es el número sin tener que contar todos los ceros. La notación científica también hace que sea más fácil comparar números grandes y pequeños, podemos compararlos simplemente mirando el exponente para ver cuál número es más grande. Si dos números se multiplican por la misma potencia de 10, podemos comparar fácilmente los otros factores porque sabemos que tienen los mismos valores posicionales. 

Por ejemplo, dados estos tres valores, \(2.1\times10^5\), \(3\times10^6\) y \(1.4\times10^5\), podemos ver fácilmente que \(3\times10^6\) tiene el mayor valor dado que tiene la mayor potencia de 10. Cada uno de los otros dos números está multiplicado por \(10^5\), pero al observar el otro factor, podemos ver que \(2.1\times10^5\) es mayor que \(1.4\times10^5\).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Esta tabla muestra la rapidez máxima de varios vehículos.

vehículo	rapidez (kilómetros por hora)
auto deportivo	\((4.15) \boldcdot 10^2\)
módulo de comando y servicio (CSM) de la nave Apolo	\((3.99) \boldcdot 10^4\)
lancha con propulsión a chorro	\((5.1) \boldcdot 10^2\)
dron autónomo	\((2.1) \boldcdot 10^4\)

1. Ordenen los vehículos del más rápido al más lento. 
2. La máxima rapidez de un trineo cohete es 10,326 kilómetros por hora. ¿Es más rápido o más lento que el dron autónomo?
3. Estimen cuántas veces tan rápido como el auto deportivo es el módulo de comando y servicio (CSM) del Apolo.

Solución:

1. El orden del más rápido al más lento es: CSM del Apolo, dron autónomo, lancha con propulsión a chorro, auto deportivo. Como todos los valores están dados en notación científica, podemos primero mirar la potencia de 10 para compararlos. Después de comparar las potencias de 10, comparamos los otros factores. Las rapideces del CSM del Apolo y del dron autónomo tienen la mayor potencia de 10 (\(10^4\)), por lo tanto son los más rápidos. El CSM del Apolo es más rápido que el dron porque 3.99 es mayor que 2.1. De forma similar, la lancha con propulsión a chorro es más rápida que el auto deportivo, porque aunque tienen la misma potencia de 10 (\(10^2\)), 5.1 es mayor que 4.15.
2. El dron autónomo es más rápido que el trineo cohete. En notación científica, la rapidez del trineo cohete es \(1.0326 \boldcdot 10^4\)y la rapidez del dron es \(2.1 \boldcdot 10^4\), y 2.1 es mayor que 1.0326.
3. Para encontrar cuántas veces tan rápido como el auto deportivo es el CSM del Apolo, debemos averiguar qué número multiplicado por  \(4.15 \boldcdot 10^2\) es igual a \(3.99 \boldcdot 10^4\). Por lo tanto, debemos calcular \(\frac{3.99 \boldcdot 10^4}{4.15 \boldcdot 10^2}\). Como estamos estimando, podemos simplificar el cálculo a \(\frac{4 \boldcdot 10^4}{4 \boldcdot 10^2}\). Si usamos las reglas de exponentes y lo que sabemos sobre fracciones, obtenemos \(\frac{4 \boldcdot 10^4}{4 \boldcdot 10^2} = 1 \boldcdot 10^{4-2} = 10^2\). Así, ¡el CSM del Apolo es aproximadamente 100 veces tan rápido como el auto deportivo!

Esta semana, nuestros estudiantes van a ampliar su trabajo con exponentes incluyendo aquellos que tienen bases distintas a 10 y aprenderán algunas reglas nuevas sobre los exponentes.  

Una de estas reglas consiste en que cualquier base elevada a la potencia 0 debe ser igual a 1. Por ejemplo, \(10^0=1\) y \(2^0=1\).

Los estudiantes también aprenderán sobre exponentes negativos. Mientras \(10^n\) representa la multiplicación repetida de 10, \(10^{\text-n}\) representa la multiplicación repetida de \(\frac{1}{10}\). Por ejemplo, \(10^{\text-5}=(\frac{1}{10})^5=\frac{1}{10^5}\).

Además entenderán cómo funcionan las reglas de los exponentes cuando la base de la expresión exponencial es un número diferente de 10 o, en otros casos, cuando las bases son diferentes. Por ejemplo, consideremos la expresión \(3^4\boldcdot5^4\). Si la reescribimos para mostrar todos los factores, obtenemos \(3\boldcdot3\boldcdot3\boldcdot3\boldcdot5\boldcdot5\boldcdot5\boldcdot5\). Si reagrupamos los factores, obtenemos \((3\boldcdot5)\boldcdot(3\boldcdot5)\boldcdot(3\boldcdot5)\boldcdot(3\boldcdot5)\) o \(15\boldcdot15\boldcdot15\boldcdot15=15^4\). Observen que esta regla no funcionará para bases distintas si los exponentes no son iguales.

Este es un resumen de las reglas generales de los exponentes:

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Escriban las siguientes expresiones usando un solo exponente:
   1. \(5^5\boldcdot 5^0\boldcdot5^1\)
   2. \(4^{\text-2}\boldcdot4^{\text-4}\)
   3. \(\frac{(7^5)^3}{7^{10}}\)
   4. \(9^8\boldcdot2^8\)
2. Escriban 3 expresiones que sean equivalentes a 10,000.

Solución:
 

1.  
   1. \(5^6\)
   2. \(4^{\text-6}\) o \((\frac14)^6\) o \(\frac{1}{4^6}\)
   3. \(7^5\)
   4. \((9\boldcdot2)^8\) o \(18^8\)
2. Ejemplos de respuestas: \(10^4\), \(10\boldcdot10\boldcdot10\boldcdot10\), \(\frac{10^{10}}{10^6}\), \((10^2)^2\), \(2^4\boldcdot5^4\)