Unit 5, Lesson 5
Rectas paralelas en el plano
Matemáticas integradas 1
5.1
Warm-up
Instructional Routines
NoneMaterials
NoneActivity Narrative
NoneLaunch
NoneActivity
None- En el plano, dibuja una recta que no sea vertical. Después, dibuja 2 traslaciones posibles de la recta.
- Encuentra la pendiente de la recta inicial y las pendientes de sus imágenes.
Student Response
NoneBuilding on Student Thinking
Activity Synthesis
None5.2
Activity
Instructional Routines
NoneMaterials
NoneActivity Narrative
NoneLaunch
NoneActivity
NonePriya escribió la siguiente demostración:
Pensemos en 2 rectas paralelas cualesquiera. Supongamos que no son ni horizontales ni verticales. Construyamos una recta horizontal que se cruce con ambas rectas paralelas. Después, construyamos una recta vertical que pase por el punto medio del segmento horizontal entre las rectas. Se forman 2 triángulos congruentes. Como los triángulos rectángulos tienen un lado horizontal y un lado vertical, podemos usarlos para encontrar la pendiente de las rectas paralelas. Por lo tanto, las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
- ¿Cómo sabe Priya que los 2 triángulos rectángulos son congruentes?
- ¿Cómo demuestra esto que las pendientes de rectas paralelas son iguales?
5.3
Activity
Instructional Routines
NoneMaterials
NoneActivity Narrative
NoneLaunch
NoneActivity
None- Grafica la recta . Marca con una el punto en la gráfica.
- Traslada el punto a e incluye el segmento de recta dirigido en tu dibujo. Marca con una este nuevo punto.
- Elige otro punto que esté en la recta y márcalo con una . Ahora traslada ese punto usando el mismo segmento de recta dirigido. Marca con una este nuevo punto.
- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por y , y grafica la recta.
- ¿Cómo sabes que es paralelo a ?
- ¿Cómo sabes que es paralelo a ?
Student Lesson Summary
La recta continua se trasladó de 2 maneras diferentes:
- Usando el segmento de recta dirigido que va de a , se obtuvo la recta discontinua de arriba.
- Usando el segmento de recta dirigido que va de a , se obtuvo la recta punteada de abajo.
Las 3 rectas parecen paralelas entre sí, como cabría esperar. Sabemos que al trasladar rectas se obtienen rectas paralelas.
¿Qué pasa con las pendientes de estas rectas? Si dibujamos los triángulos de pendiente que pasan por el origen, vemos triángulos rectángulos. Como sabemos que las rectas son paralelas, las parejas de ángulos correspondientes de los triángulos deben ser congruentes según el teorema de ángulos alternos internos. Los triángulos con ángulos congruentes son semejantes, y los triángulos de pendiente que son semejantes corresponden a rectas que tienen la misma pendiente. Aquí vemos pendientes de y , todas iguales.
Coordinate plane. Heavy dotted line through 0 comma 6, 2 comma 4. Solid line through 0 comma 3, 2 comma 2, shaded blue below the line and in the first quadrant. Light dotted line through 0 comma negative 1, 2 comma negative 2, shaded yellow above this line and in the third quadrant.
Podemos usar un razonamiento parecido para demostrar que 2 rectas paralelas cualesquiera que no sean verticales tienen la misma pendiente, y también que 2 rectas cualesquiera que tienen la misma pendiente son paralelas.
¿Qué pasa si queremos encontrar la ecuación de una recta que sea paralela a estas 3 rectas y que pase por el punto ? Sabemos que la recta debe tener la misma pendiente, es decir, . Podemos usar la forma punto-pendiente, y obtenemos .