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Priya escribió la siguiente demostración:
Pensemos en 2 rectas paralelas cualesquiera. Supongamos que no son ni horizontales ni verticales. Construyamos una recta horizontal que se cruce con ambas rectas paralelas. Después, construyamos una recta vertical que pase por el punto medio del segmento horizontal entre las rectas. Se forman 2 triángulos congruentes. Como los triángulos rectángulos tienen un lado horizontal y un lado vertical, podemos usarlos para encontrar la pendiente de las rectas paralelas. Por lo tanto, las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
La recta continua se trasladó de 2 maneras diferentes:
Las 3 rectas parecen paralelas entre sí, como cabría esperar. Sabemos que al trasladar rectas se obtienen rectas paralelas.
¿Qué pasa con las pendientes de estas rectas? Si dibujamos los triángulos de pendiente que pasan por el origen, vemos triángulos rectángulos. Como sabemos que las rectas son paralelas, las parejas de ángulos correspondientes de los triángulos deben ser congruentes según el teorema de ángulos alternos internos. Los triángulos con ángulos congruentes son semejantes, y los triángulos de pendiente que son semejantes corresponden a rectas que tienen la misma pendiente. Aquí vemos pendientes de y , todas iguales.
Coordinate plane. Heavy dotted line through 0 comma 6, 2 comma 4. Solid line through 0 comma 3, 2 comma 2, shaded blue below the line and in the first quadrant. Light dotted line through 0 comma negative 1, 2 comma negative 2, shaded yellow above this line and in the third quadrant.
Podemos usar un razonamiento parecido para demostrar que 2 rectas paralelas cualesquiera que no sean verticales tienen la misma pendiente, y también que 2 rectas cualesquiera que tienen la misma pendiente son paralelas.
¿Qué pasa si queremos encontrar la ecuación de una recta que sea paralela a estas 3 rectas y que pase por el punto ? Sabemos que la recta debe tener la misma pendiente, es decir, . Podemos usar la forma punto-pendiente, y obtenemos .