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Andre dice: “Sé que puedo dibujar un triángulo rectángulo y usar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano. Pero no sé cómo encontrar las longitudes de los catetos del triángulo si no puedo contar las marcas en la gráfica”.
Explícale a Andre cómo puede encontrar las longitudes de los catetos del triángulo de la gráfica. Después, calcula la distancia entre los puntos y .
La figura muestra el segmento y varios puntos.
| punto | punto | |
|---|---|---|
| punto | ||
| punto | ||
| punto | ||
| punto |
¿Qué observas acerca de las distancias entre los puntos y las pendientes de los segmentos de recta? ¿Qué te dice esto acerca de los puntos , , y ?
En el plano hay un punto en y un punto en .
El diagrama muestra el punto y varios puntos que están a 5 unidades de distancia de este. En algunos casos es fácil ver a qué distancia están los puntos de . Por ejemplo, si contamos o restamos, nos damos cuenta de que , y están todos a 5 unidades de distancia de .
En otros casos tenemos que calcular la distancia. Consideremos el punto . Para calcular la distancia de a , podemos representar la distancia con una y usar el teorema de Pitágoras: Al evaluar el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos . Es decir, es el número positivo que elevado al cuadrado da 25. Esto significa que sí está a 5 unidades de distancia de .
El punto también parece que podría estar a 5 unidades de distancia de . Para encontrar su distancia a , hacemos un cálculo parecido: . Al evaluar el lado izquierdo, obtenemos . Esto significa que debe ser un poco mayor que 5. Por lo tanto, no está exactamente a 5 unidades de distancia de .
Para comprobar si un punto cualquiera está a 5 unidades de distancia del punto , podemos usar el teorema de Pitágoras y ver si es igual a 52, es decir, 25.
Con el mismo razonamiento, podemos usar la ecuación para saber si la distancia entre dos puntos cualesquiera, y , es igual a . Al despejar , obtenemos lo que a veces llamamos la fórmula de la distancia: