Esta semana nuestros estudiantes van a resolver problemas acerca del área dentro de los círculos. Podemos cortar un círculo en sectores y reorganizar los pedazos sin cambiar el área de la figura. Cuanto más pequeños cortemos esos sectores, más se parece la figura reorganizada a un paralelogramo.

El área de un círculo puede hallarse multiplicando la mitad de la circunferencia por el radio. Si usamos \(C=2\pi r\) (que equivale a \(C=\pi d\) porque \(2r=d\)) podemos representar esta relación con la ecuación: \(\displaystyle A = \frac12 (2\pi r) \boldcdot r\) o \(\displaystyle A=\pi r^2\)Esto quiere decir que si conocemos el radio, podemos encontrar el área. Por ejemplo, si un círculo tiene un radio de 10 cm, entonces el área es aproximadamente 314 cm², porque \(3.14 \boldcdot 10^2 = 314\). También podemos decir que el área es \(100\pi\) cm².

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

A una tabla de madera rectangular de 20 pulgadas de ancho y 40 pulgadas de largo se le abrió un hueco circular. 

1. El diámetro del círculo es 6 pulgadas. ¿Cuál es el área del círculo?
2. ¿Cuál es el área de la tabla luego de haber quitado el círculo?

Solución:

1. \(9\pi\) o aproximadamente 28.26 in². El radio del hueco es la mitad del diámetro, así que podemos dividir para obtener el radio, \(6 \div 2 = 3\). El área de un círculo se puede calcular con la ecuación \(A = \pi r^2\). Para un radio de 3, \(r^2\) es \(3^2=9\). Podemos escribir el área como \(9\pi\) o aproximar \(\pi\) a 3.14, así obtenemos \(3.14 \boldcdot 9 = 28.26\).
2. \(800 - 9\pi\) o aproximadamente 771.74 in². Antes de abrir el hueco, la tabla completa tenía un área de \(20 \boldcdot 40\) u 800 in². Podemos restar el área del pedazo que se quitó para obtener el área de lo que quedó de la tabla: \(800 - 28.26 = 771.74\).

Esta semana nuestros estudiantes van a aprender por qué los círculos son diferentes a otras figuras, como, por ejemplo, los triángulos o los cuadrados. Los círculos son perfectamente redondos porque están formados por todos los puntos que están a una misma distancia de un centro.

First of two circles labeled circle 1 and circle 2. Circle 1 has a center at P and the points A, C, F, B, D, and E lie on the circle. Diameters A B, C D, and E F are drawn.

Second of two circles labeled circle 1 and circle 2. Circle 2 has a center at Q and the points G, H, I and J lie on the circle. Line segments Q G, Q H, Q I, and Q J are drawn.

• El segmento de recta que va desde el centro hasta cualquier punto del círculo se llama radio. Por ejemplo, el segmento que va de P a F es un radio del círculo 1.
• El segmento de recta entre dos puntos que están sobre el círculo y que pasa por el centro del círculo, se llama diámetro. Su longitud es el doble de la longitud del radio. Por ejemplo, el segmento de E a F es un diámetro del círculo 1. Observen que el segmento EF mide el doble que el segmento PF. 
• La distancia al rodear el círculo se llama la circunferencia. Mide un poco más que 3 veces la longitud del diámetro. La relación exacta es \(C=\pi d\), donde \(C\) es la circunferencia, \(d\) es el diámetro y \(\pi\) es una constante con infinitos dígitos después del punto decimal. Una aproximación común de \(\pi\) es 3.14.

Podemos usar las relaciones proporcionales que hay entre radio, diámetro y circunferencia para resolver problemas.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Un tazón de cereal tiene un diámetro de 16 centímetros.

1. ¿Cuánto mide el radio del tazón de cereal?
   1. 5 centímetros
   2. 8 centímetros
   3. 32 centímetros
   4. 50 centímetros
2. ¿Cuánto mide aproximadamente la circunferencia del tazón de cereal?
   1. 5 centímetros
   2. 8 centímetros
   3. 32 centímetros
   4. 50 centímetros

Solución:

1. B, 8 centímetros. El diámetro de un círculo mide el doble de lo que mide el radio, por lo tanto, el radio mide la mitad de lo que mide el diámetro. Podemos dividir el diámetro entre 2 para hallar el radio: \(16 \div 2 = 8\).
2. D, 50 centímetros. La circunferencia de un círculo es \(\pi\) por el diámetro: \(16 \boldcdot 3.14 \approx 50\).