Esta semana, nuestros estudiantes van a trabajar con algunas relaciones entre parejas de ángulos.

• Si dos ángulos suman \(90^\circ\), entonces decimos que son ángulos complementarios. Si dos ángulos suman \(180^\circ\), entonces decimos que son ángulos suplementarios. Por ejemplo, los ángulos \(JGF\) y \(JGH\), de abajo, son ángulos suplementarios, pues \(30 + 150 = 180\). 

  

• Cuando dos rectas se cruzan, forman dos pares de ángulos opuestos. Los ángulos opuestos están en posiciones opuestas con respecto al vértice. En la figura de arriba, los ángulos \(JGF\) y \(HGI\) son ángulos opuestos. También lo son los ángulos \(JGH\) y \(FGI\). Los ángulos opuestos siempre miden lo mismo.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

El rectángulo \(PQRS\) tiene los puntos \(T\) y \(V\) en dos de sus lados.

1. Los ángulos \(SVT\) y \(TVR\) son suplementarios. Si el ángulo \(SVT\) mide \(117^\circ\), ¿cuál es la medida del ángulo \(TVR\)?
2. Los ángulos \(QTP\) y \(QPT\) son complementarios. Si el ángulo \(QTP\) mide \(53^\circ\), ¿cuál es la medida del ángulo \(QPT\)?

Solución:

1. El ángulo \(TVR\) mide \(63^\circ\), pues \(180 - 117 = 63\).
2. El ángulo \(QPT\) mide \(37^\circ\), pues \(90 - 53 = 37\).

Esta semana, nuestros estudiantes van a pensar en el área de superficie y el volumen de figuras tridimensionales. Este es un prisma triangular. Su base es un triángulo rectángulo con lados de 12, 12 y 17 pulgadas de longitud.

En general, podemos hallar el volumen de cualquier prisma si multiplicamos el área de la base por la altura. Para este prisma, el área de la base triangular es 72 in², entonces el volumen es \(72 \boldcdot 14\), es decir, 1,008 in³.

Para encontrar el área de superficie de un prisma, podemos hallar el área de cada una de sus caras y luego sumarlas. El prisma del ejemplo tiene dos caras que son triángulos y tres caras que son rectángulos. Al sumar todas estas áreas podemos ver que el área de superficie total del prisma es \(72+72+168+168+238\), es decir, 718 in².

Esta es una tarea para que trabajen en familia:  

La base de este prisma es un hexágono en el que todos los lados miden 5 cm. El área de la base es aproximadamente 65 cm².

1. ¿Cuál es el volumen del prisma?
2. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

Solución:

1. El volumen del prisma es aproximadamente 1,040 cm³, porque \(65 \boldcdot 16=1,\!040\).
2. El área de superficie del prisma es 610 cm², porque \(16\boldcdot 5 = 80\) y \(65 + 65 + 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 80 = 610\).

Esta semana nuestros estudiantes van a dibujar figuras, basándose en una descripción. ¿Qué opciones tenemos si debemos dibujar un triángulo, pero solo conocemos algunas de sus longitudes de lado y de sus medidas de ángulos?

• A veces podemos dibujar más de un tipo de triángulo con la información dada. Por ejemplo, “un lado mide 5 unidades y el otro mide 6 unidades, y un ángulo mide \(32^\circ\)” podría describir dos triángulos que no son copias idénticas el uno del otro.

  

  Two triangles. The triangle on the left has the angle labeled 32 degrees between the adjacent side lengths 5 and 6. The triangle on the right has the angle labeled 32 degrees between the side length labeled 5 and the third side of the triangle that is not labeled. 

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• Otras veces, con base en la descripción, hay un único triángulo. Por ejemplo, estas son dos copias idénticas de un triángulo con dos lados de 3 unidades de longitud y un ángulo de \(60^\circ\). No hay forma de dibujar un triángulo diferente (un triángulo que no sea una copia idéntica) a partir de esta descripción.

  

• A veces es imposible dibujar un triángulo con la información dada. Por ejemplo, no hay ningún triángulo cuyos lados midan 4 pulgadas, 5 pulgadas y 12 pulgadas. ¡Intenten dibujarlo y lo comprobarán ustedes mismos!

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

A partir de cada uno de los grupos de condiciones, ¿pueden dibujar un triángulo que no sea una copia idéntica del que se muestra en cada caso?

1. un triángulo con lados que miden 4, 6 y 9 unidades

   

2. un triángulo con un lado que mide 6 unidades y ángulos que miden \(45^\circ\) y \(90^\circ\)

   

Solución:

1. No hay forma de dibujar un triángulo diferente con esas longitudes de lado. Cualquier posibilidad es una copia idéntica del triángulo dado. (Podríamos recortar uno de los triángulos y hacerlo coincidir exactamente con el otro). Estos son algunos ejemplos:

   

2. Podríamos dibujar un triángulo diferente si hiciéramos que el lado de 6 unidades fuera opuesto al ángulo de \(90^\circ\) en vez de estar al lado del ángulo. Esta no es una copia idéntica del triángulo dado porque es más pequeña.