Unit 4
Relaciones proporcionales y porcentajes
Grado 7
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Esta semana, nuestros estudiantes van a aprender sobre relaciones proporcionales que incluyen fracciones y decimales. Por ejemplo, un panadero decide comenzar a usar \(\frac16\) menos de la cantidad total de azúcar que recomienda cada receta. Si la receta recomienda usar 2 tazas de azúcar, el panadero no usará \(\frac16 \boldcdot 2\), o \(\frac13\), tazas de azúcar. Es decir, usará solo \(2 - \frac13\), es decir, \(1\frac23\) tazas de azúcar.
| cantidad de azúcar en la receta (\(x\)) | cantidad de azúcar que usa el panadero (\(y\)) |
|---|---|
| 1 taza | \(\frac56\) taza |
| \(1\frac12\) tazas | \(1\frac14\) tazas |
| 2 tazas | \(1\frac23\) tazas |
La cantidad de azúcar que usa el panadero, \(y\), es proporcional a la cantidad de azúcar que recomienda la receta, \(x\). La constante de proporcionalidad es \(\frac56\).
\(y = x - \frac16 x\)
\(y = (1 - \frac16) x\)
\(y = \frac56 x\)
Otra forma de escribir esta ecuación es \(y = 0.8\overline{3}x\). La línea encima del 3 nos indica que si usamos división larga para dividir \(5 \div 6\), seguiremos obteniendo la respuesta 3 una y otra vez. Este es un ejemplo de un decimal periódico.
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
El panadero también decide comenzar a usar \(\frac16\) más de la cantidad de líquido recomendada en cada receta.
Solución:
Esta semana, nuestros estudiantes van a aprender a describir aumentos y disminuciones como porcentajes de la cantidad inicial. Por ejemplo, dos clubes escolares distintos pueden recibir el mismo número de nuevos estudiantes, pero tener distintos aumentos porcentuales.
El club de cocina tiene 50 estudiantes. Después, recibe 6 estudiantes más.
Esto es un aumento del 12%, pues \(6 \div 50 = 0.12\).
Ahora tiene 56 estudiantes, que es 112% de la cantidad inicial.
\(1.12 \boldcdot 50 = 56\)
El club de computación tiene 8 estudiantes. Después, recibe 6 estudiantes más.
Esto es un aumento del 75%, pues \(6 \div 8 = 0.75\).
Ahora tiene 14 estudiantes, que es 175% de la cantidad inicial.
\(1.75 \boldcdot 8 = 14\)
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
El club de fotografía tiene 20 estudiantes. Luego, el número de estudiantes aumenta en 35%. ¿Cuántos estudiantes hay ahora en el club de fotografía?
Solución:
27 estudiantes. Posibles estrategias:
Esta semana, nuestros estudiantes van a aprender acerca de situaciones de la vida real en las que se usan aumentos o disminuciones porcentuales, como impuestos, intereses, incrementos de precio y descuentos.
Por ejemplo, la etiqueta de precio de un abrigo dice \$24. El cliente también debe pagar un impuesto a las ventas igual al 7.5% del precio. ¿Cuál es el costo total del abrigo, incluyendo el impuesto?
\(24 \boldcdot 1.075 = 25.80\)
El cliente pagará 107.5% del precio que dice en la etiqueta, es decir, el costo total será \$25.80.
También podemos encontrar el porcentaje. Por ejemplo, una mochila cuesta \$22.50 inicialmente, pero ahora tiene un descuento y cuesta \$18.99. ¿Qué porcentaje del precio original es el descuento?
\(\begin{align} 22.50x &= 18.99 \\ x &= 18.99 \div 22.50 \\ x &= 0.844 \end{align}\)
El precio de venta es 84.4% del precio original. El descuento es \((100 - 84.4)\)%, es decir, 15.6% del precio original.
Esta es una tarea para que trabajen en familia:
La cuenta en un restaurante es de \$18.75. Si pagas \$22, ¿qué porcentaje de la cuenta dejas como propina para el mesero?
Solución:
\(17.\overline{3}\%\). Posible estrategia: pagas \(117.\overline{3}\%\) de la cuenta, pues \(22 \div 18.75 = 1.17\overline{3}\). Dejas un \(17.\overline{3}\%\) de propina, porque \(117.\overline{3} - 100 = 17.\overline{3}\).