Esta semana, nuestros estudiantes van a trabajar con expresiones equivalentes (expresiones que siempre son iguales, para cualquier valor de la variable). Por ejemplo, \(2x+7+4x\) y \(6x+10-3\) son expresiones equivalentes. Podemos ver que estas expresiones son iguales cuando le damos distintos valores a \(x\).

	\(\displaystyle 2x+7+4x\)	\(\displaystyle 6x+10-3\)
cuando \(x\) es 5	\(\displaystyle 2\boldcdot5+7+4\boldcdot5\) \(\displaystyle 10 + 7 + 20\) \(\displaystyle 37\)	\(\displaystyle 6\boldcdot5+10-3\) \(\displaystyle 30+10-3\) \(\displaystyle 37\)
cuando \(x\) es -1	\(\displaystyle 2\boldcdot\text-1+7+4\boldcdot\text-1\) \(\displaystyle \text-2 + 7 + \text-4\) \(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 6\boldcdot\text-1+10-3\) \(\displaystyle \text-6+10-3\) \(\displaystyle 1\)

También podemos usar las propiedades de las operaciones para ver por qué estas expresiones son equivalentes: ambas son equivalentes a la expresión \(6x+7\).

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Para cada expresión, busquen una expresión equivalente en la lista de abajo. Una de las expresiones de la lista quedará sin pareja.

Solución

1. \(3x + 9\) es equivalente a \(5x + 8 - 2x + 1\), pues \(5x+\text-2x=3x\) y \(8 + 1 = 9\).
2. \(24x - 18\) es equivalente a \(6(4x-3)\), pues \(6\boldcdot4x = 24x\) y \(6\boldcdot\text-3=\text-18\).
3. \(3x + 7\) es equivalente a \((5x + 8) - (2x + 1)\), pues \(5x - 2x = 3x\) y \(8 - 1 = 7\).
4. \(\text-3(4x-3)\) es equivalente a \(\text-12x+9\), pues \(\text-3\boldcdot4x=\text-12x\) y \(\text-3\boldcdot\text-3=9\).

Esta semana nuestros estudiantes van a resolver ecuaciones. A veces, para resolver una ecuación, podemos simplemente pensar en un número que haga que la ecuación sea verdadera. Por ejemplo, la solución de \(12-c=10\) es 2, porque sabemos que \(12-2=10\). Para ecuaciones más complicadas, que pueden incluir decimales, fracciones y números negativos, es posible que la solución no sea tan obvia.

Un método importante para resolver ecuaciones es hacer lo mismo a cada lado de la ecuación. Por ejemplo, veamos cómo podemos resolver \(\text-4(x-1)=20\) haciendo lo mismo a cada lado.

\(\begin{align} \text-4(x-1) &= 24 \\ \text-\tfrac14 \boldcdot \text-4(x-1) &= \text-\tfrac14 \boldcdot 24 & \text{multiplicamos cada lado por }\text-\tfrac14 \\ x-1 &= \text-6 \\ x-1+1 &= \text- 6 + 1 & \text{ sumamos 1 a cada lado} \\ x &= \text-5 \\ \end{align}\)

Otra herramienta que nos puede ayudar a resolver ecuaciones es aplicar la propiedad distributiva. En el ejemplo anterior, si comenzamos usando la propiedad distributiva, la solución se vería así:

\(\begin{align} \text-4(x-1) &= 24 \\ \text-4x+4 &= 24 & \text{aplicamos la propiedad distributiva} \\ \text-4x+4-4 &= 24-4 &\text{restamos 4 de cada lado} \\ \text-4x &= 20 \\ \text-4x \div \text-4 &= 20\div\text-4 & \text{dividimos cada lado entre }\text-4 \\ x &= \text-5 \\ \end{align}\)

Cualquiera de los métodos nos muestra que la ecuación \(\text-4(x-1) = 24\) es verdadera cuando \(x=\text-5\). 

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Elena elige un número, le suma 45 y luego multiplica el resultado por \(\frac12\). El resultado es 29. Elena dice que pueden encontrar el número que ella eligió si resuelven la ecuación \(29=\frac12(x+45)\).

Encuentren el número que Elena eligió. Describan los pasos que usaron.

Solución:

El número que Elena eligió fue 13. Hay distintas formas de resolver su ecuación. Este es un ejemplo:

\(\begin{align} 29 &= \frac12(x+45) \\ 2 \boldcdot 29 &= 2 \boldcdot \frac12 (x+45) & \text{multiplicamos cada lado por }2 \\ 58 &= x+45 \\ 58-45 &= x+45-45 & \text{restamos 45 de cada lado} \\ 13 &=x \\ \end{align}\)

Esta semana nuestros estudiantes van a usar diagramas y ecuaciones para representar situaciones. Vamos a estudiar dos tipos principales de situaciones.

Este es un ejemplo del primer tipo de situación: una baraja de cartas estándar tiene cuatro palos. En cada palo hay tres cartas que son figuras y \(x\) cartas de las otras. En total, hay 52 cartas en la baraja. 

El diagrama y la ecuación muestran que hay 4 grupos de cartas, cada grupo tiene \(x+3\) cartas y hay 52 cartas en total.

Este es un ejemplo del segundo tipo de situación: una chef prepara 52 pintas de salsa de espagueti. Aparta 3 de esas pintas para llevárselas a su familia. El resto lo divide equitativamente en 4 recipientes. 

El diagrama y la ecuación muestran que de las 52 pintas de salsa en total, se apartaron 3, y cada uno de los 4 recipientes contiene \(x\) pintas de salsa.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

1. Dibujen un diagrama que represente la ecuación \(3x+6=39\).
2. Dibujen un diagrama que represente la ecuación \(39=3(y+6)\).
3. Decidan cuál historia corresponde a cada ecuación y diagrama:
   • Tres amigas fueron a recolectar cerezas. Cada una recolectó la misma cantidad, en libras. Antes de irse de la granja de cerezas, alguien les regaló 6 libras más de cerezas. En total, quedaron con 39 libras de cerezas.
   • Una de las amigas preparó tres tartas de cereza. Usó el mismo número de cerezas en cada tarta y luego agregó 6 cerezas más a cada tarta. En total, en las tres tartas usó 39 cerezas.

Solución:

1. 

2. 

3. El diagrama A y \(3x+6=39\) representan la historia de las cerezas recolectadas. El diagrama B y \(3(y+6)=39\) representan la historia sobre las tartas de cereza.

Esta semana nuestros estudiantes van a trabajar con desigualdades (expresiones con el símbolo \(>\) o \(<\) en vez de \(=\)). Usamos desigualdades para describir un rango de números. Por ejemplo, en muchos lugares una persona debe tener por lo menos 16 años para que se le permita conducir. Podemos representar esa situación con la desigualdad \(a \geq 16\). Podemos mostrar todas las soluciones de esa desigualdad en la recta numérica.

Esta es una tarea para que trabajen en familia:

Noah ya tiene \$10.50, y cada vez que hace un mandado para su vecino, le pagan \$3. Noah quiere saber cuántos mandados necesita hacer para conseguir al menos \$30, entonces escribe esta desigualdad: \(\displaystyle 3e+10.50\geq30\)

Podemos poner a prueba esta desigualdad para distintos valores de \(e\). Por ejemplo, hacer 4 mandados no es suficiente para que Noah alcance su objetivo, pues \(3\boldcdot4+10.50 = 22.5\) y \$22.50 es menos de \$30.

1. Indiquen si Noah alcanzará su objetivo si hace:
   1. 8 mandados
   2. 9 mandados
2. ¿Qué valor de \(e\) hace que la ecuación \(3e+10.50=30\) sea verdadera?
3. ¿Qué les dice eso sobre todas las soluciones de la desigualdad \(3e+10.50\geq30\)?
4. ¿Qué quiere decir esto en la situación de Noah?

Solución:

1.  
   1. Sí, si Noah hace 8 mandados, tendrá \(3\boldcdot8+10.50\), es decir, \$34.50.
   2. Sí. Como hacer 8 mandados era suficiente y 9 es más que 8, hacer 9 mandados también será suficiente.
2. La ecuación es verdadera cuando \(e=6.5\). Podemos reescribir la ecuación como \(3e = 30 - 10.50\), o \(3e = 19.50\). Luego, podemos reescribir esto como \(e = 19.50 \div 3\), o \(e=6.5\).
3. Esto quiere decir que, cuando \(e \geq 6.5\), la desigualdad de Noah es verdadera.
4. En realidad, Noah no puede hacer 6.5 mandados, pero puede hacer 7 mandados o más, y así conseguirá mas de \$30.