Unit 4, Lesson 11
En ambas rectas
Grado 8
11.1
Warm-up
¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?
11.2
Activity
Una hormiga y una mariquita distintas están separadas a cierta distancia y comienzan a caminar una hacia la otra. La gráfica muestra la distancia recorrida por la mariquita desde un punto de inicio a lo largo del tiempo. El punto indica cuando se cruzan la hormiga y la mariquita.
<p>Graph of a line, origin O, with grid. Horizontal axis, time in seconds, scale 0 to 5, by 1’s. Vertical axis, distance in centimeters, scale 0 to 24, by 2’s. The line passes through the origin and the point 2 point 5 comma 10.</p>
La hormiga está caminando 2 centímetros por cada segundo.
- Escribe una ecuación que represente la relación entre la distancia de la hormiga desde el punto de inicio de la mariquita y el tiempo que ha pasado.
- Si aún no lo has hecho, dibuja la gráfica de tu ecuación en el mismo plano de coordenadas.
11.3
Activity
Elena y Jada participan en una carrera en bicicleta de 100 metros. Ambas comienzan al mismo tiempo y se mueven a una rapidez constante. Esta tabla muestra información sobre la carrera de Jada:
| tiempo desde la salida (segundos) | distancia a la salida (metros) |
|---|---|
| 6 | 36 |
| 9 | 54 |
- Grafica la relación entre distancia y tiempo de la carrera de Jada. Asegúrate de etiquetar los ejes y establecer una escala de manera apropiada.
- Elena corre toda la carrera a una rapidez constante de 6 metros por segundo. Grafica la relación entre distancia y tiempo de la carrera de Elena en el mismo plano de coordenadas.
- ¿Quién ganó la carrera?
Student Lesson Summary
Las soluciones de una ecuación corresponden a puntos en su gráfica. Por ejemplo, si un automóvil A está viajando a 75 millas por hora y pasa por una zona de descanso cuando , entonces la distancia en millas que ha recorrido desde la zona de descanso después de horas es:
El punto está en la gráfica de esta ecuación pues hace que la ecuación sea verdadera (). Esto significa que dos horas después de pasar por la zona de descanso, el automóvil ha recorrido 150 millas.
Si tenemos 2 ecuaciones, podríamos preguntarnos si hay un par ordenado que sea una solución de ambas ecuaciones de manera simultánea. Por ejemplo, si el automóvil B está viajando hacia la zona de descanso y su distancia se expresa por:
Podemos preguntarnos si hay un momento en que la distancia entre el automóvil A y la zona de descanso es la misma que la distancia entre el automóvil B y la zona de descanso. Si la respuesta es sí, entonces la solución corresponderá a un punto que está en ambas rectas.
Graph of 2 lines, origin O, with grid. Horizontal axis, time in hours, scale 0 to point 22, by point 0 2’s. Vertical axis, distance in miles, scale 0 to 14, by 2’s. One line passes through the origin and the point 0 point 1 comma 7 point 5. Another line crosses the y axis at 14 and passes through the point 0 point 1 comma 7 point 5.
Al observar las coordenadas del punto de intersección, vemos que el automóvil A y el automóvil B estarán a 7.5 millas de la zona de descanso después de 0.1 horas (que son 6 minutos).
Ahora supongamos que otro automóvil, el automóvil C, también pasa por la zona de descanso en el momento y viaja en la misma dirección que el automóvil A, también a 75 millas por hora. Su ecuación también es . Cualquier solución a la ecuación del automóvil A también es una solución a la ecuación del automóvil C, y cualquier solución a la ecuación del automóvil C también es una solución para el automóvil A. La recta del automóvil C está sobre la recta del automóvil A. En este caso, cada punto de la recta graficada es una solución para ambas ecuaciones, de modo que hay infinitas soluciones a la pregunta “¿Cuándo están el automóvil A y el automóvil C a la misma distancia de la zona de descanso?”. Esto significa que ambos automóviles están juntos, uno al lado del otro, durante todo su recorrido.
Cuando tenemos dos ecuaciones lineales que son equivalentes entre sí, como y , obtendremos 2 rectas que están justo encima una de la otra. Cualquier solución de una ecuación es también solución de la otra, por lo que estas 2 rectas se intersecan en un número infinito de puntos.
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