Unit 4, Lesson 12
Sistemas de ecuaciones
Grado 8
12.2
Activity
Cerca de la ciudad donde Han y Jada viven, hay un sendero que comienza en un estacionamiento y termina en un lago. Han y Jada deciden hacer una caminata por el sendero desde el estacionamiento hasta el lago y luego regresar, pero comienzan sus caminatas en tiempos diferentes.
Cuando Han llega al lago y comienza su regreso, Jada está a 0.6 millas del estacionamiento y camina hacia el lago a una rapidez constante de 3.2 millas por hora. La distancia de Han al estacionamiento, , se puede expresar como , donde representa el tiempo en horas desde que dejó el lago.
- ¿Cuál es la ecuación para la distancia de Jada al estacionamiento, en su camino hacia el lago?
-
Dibuja ambas rectas: una que represente la ecuación de Han y otra que represente la ecuación de Jada. ¡Es importante ser muy preciso! Ten cuidado, trabaja con lápiz y usa una regla.
<p>Coordinate plane, origin O, with grid. Horizontal axis, time in hours, scale 0 to 1 point 75, by point 25’s. Vertical axis, distance from parking lot in miles, scale 0 to 5, by 1’s.</p> - Encuentra el punto donde las 2 rectas se intersecan. ¿Cuáles son las coordenadas de este punto?
- ¿Cómo puedes usar las ecuaciones para verificar tus coordenadas?
- ¿Qué significan las coordenadas en esta situación?
- ¿Qué tiene que ser verdadero acerca de la relación entre esas coordenadas y la ecuación de Jada?
- ¿Qué tiene que ser verdadero acerca de la relación entre esas coordenadas y la ecuación de Han?
12.3
Activity
Una pila de vasos pequeños tiene una altura, , en centímetros, de .
Otra pila de vasos grandes tiene una altura, , en centímetros, de .
-
Grafica las ecuaciones de cada pila de vasos en el mismo par de ejes. Asegúrate de etiquetar los ejes y decidir una escala adecuada.
- ¿Para qué número de vasos las dos torres tendrán la misma altura?
Student Lesson Summary
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 o más ecuaciones en el que las variables representan los mismos valores desconocidos. Por ejemplo, supongamos que se siembran dos tipos distintos de bambú al mismo tiempo. La planta A comienza con 6 pies de altura y crece a una tasa constante de de pie cada día. La planta B comienza con 3 pies de altura y crece a una tasa constante de pie cada día. Como la planta B crece más rápido, en algún momento será más alta que la planta A, ¿pero cuándo?
Para la planta A, podemos escribir la ecuación , y para la planta B la ecuación , donde representa la cantidad de días después de la siembra y representa la altura. Con base en esto, podemos escribir este sistema de ecuaciones:
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de y de que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo. Una manera de encontrar la solución a un sistema de ecuaciones, que ya hemos visto, es graficar ambas rectas y hallar el punto de intersección. El punto de intersección representa el par de valores de y de que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas.
Esta es una gráfica para el ejemplo del bambú:
<p>Graph of two lines, origin O, with grid. Horizontal axis, time in days, scale 0 to 13, by 1’s. Vertical axis, height in feet, scale 0 to 12, by 1’s. A line, labeled Plant A, crosses the y axis at 6. A line, labeled Plant B, crosses the y axis at 3. The lines intersect at the point 12 comma 9.</p>
La solución a este sistema de ecuaciones es , lo que significa que ambas plantas de bambú tendrán 9 pies de altura a los 12 días.
Hemos visto sistemas de ecuaciones que no tienen soluciones, que tienen una solución y que tienen infinitas soluciones.
- Cuando las rectas no se intersecan, no hay solución (las rectas que no se intersecan deben ser paralelas).
- Cuando las rectas se intersecan una vez, hay una solución.
- Cuando una recta está encima de la otra, hay infinitas soluciones.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 o más ecuaciones. Cada ecuación tiene 2 o más variables. Una solución del sistema son valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas.
Estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones:
La solución de este sistema es y . Cuando las variables y se reemplazan por estos valores, ambas ecuaciones son verdaderas: y .