Unit 4, Lesson 13
Resolvamos sistemas de ecuaciones
Grado 8
13.1
Warm-up
<p>Graph of 2 lines, origin O. Horizontal axis, scale negative 25 to 25, by 5’s. Vertical axis, scale negative 20 to 20, by 5’s. A line is labeled y equals negative x plus 10. Another line is labeled y equals 2 x plus 4. The lines intersect at the point 2 comma 8.</p>
13.2
Activity
Estos son tres sistemas de ecuaciones. Encuentra la solución de cada sistema.
Empareja cada gráfica con un sistema de ecuaciones. Después usa las gráficas para comprobar que tus soluciones son razonables.
<p>A graph with two lines, in the x y plane, origin O. The graph has a scale of negative 25 to 25 on both the x and y axis. One line slants downward and right. It crosses the x axis at 10 and the y axis at 20. Another line slants upward and right. It crosses the y axis at 5. It crosses the x axis to the left of the origin. </p>
<p>A graph with two lines, in the x y plane, origin O. The graph has a scale of negative 25 to 25 on both the x and y axis. One line slants upward and right. It crosses the y axis between 25 and 30. It crosses the x axis between negative 10 and negative 15. Another line slants upward and right. It crosses the y axis between 10 and 15. It crosses the x axis between negative 20 and negative 25. </p>
<p>A graph with two lines, in the x y plane, origin O. The graph has a scale of negative 25 to 25 on both the x and y axis. One line slants upward and right. It crosses the x axis between 0 and 5. It crosses the y axis between 0 and negative 5. Another line slants upward and right. It crosses the x axis at 5 and the y axis at negative 10. </p>
Student Lesson Summary
A veces es más fácil resolver un sistema de ecuaciones sin tener que representar gráficamente las ecuaciones y buscar un punto de intersección. En general, cuando resolvemos un sistema de ecuaciones que se escribe como:
estamos buscando un par de valores que hagan que ambas ecuaciones sean verdaderas. En particular, sabemos que el valor de será igual para ambas ecuaciones. Esto significa que:
Por ejemplo, considera el siguiente sistema de ecuaciones:
Como el valor de en la solución es el mismo en ambas ecuaciones, entonces sabemos que:
Podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de :
Pero esto es solo la mitad de lo que estamos buscando: sabemos el valor de , pero necesitamos el valor de .
Como ambas ecuaciones tienen el mismo valor de , podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar ese valor: o .
En ambos casos encontramos que . Entonces, la solución del sistema es . Esto lo podemos comprobar al graficar ambas ecuaciones en un plano de coordenadas.
<p>Graph of two lines line, origin O, with grid. Horizontal axis, x, scale negative 4 to 1, by 1s. Vertical axis, y, scale negative 1 to 4, by 1’s. The lines intersect at the point negative 2 comma 2. </p>
En general, un sistema de ecuaciones lineales puede tener:
- Ninguna solución. En este caso, las rectas que corresponden a cada ecuación nunca se intersecan. Tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones con el eje .
- Exactamente una solución. Las rectas que corresponden a cada ecuación se intersecan exactamente en un punto. Tienen diferentes pendientes.
- Un número infinito de soluciones. ¡Las gráficas de las dos ecuaciones son la misma recta! Tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje .
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