Construyamos funciones cuadráticas a partir de patrones geométricos
Álgebra 1
3.1
Warm-up
La figura A es un cuadrado grande. La figura B es un cuadrado grande al que se le ha quitado un cuadrado más pequeño. La figura C está compuesta por dos cuadrados grandes y un cuadrado pequeño.
Figura A
Figura B
Figura C
Si la longitud del lado del cuadrado grande es la que se muestra en la primera columna de la tabla, escribe una expresión que represente el área de cada figura sombreada.
longitud de lado del
cuadrado grande
área de A
área de B
área de C
4
3.2
Activity
Three steps of a growing pattern. Step 1: Total of five squares, one square in the middle with one square on each corner attached corner to corner. Step 2: Total of eight squares, four squares form a square in the middle with one square on each corner attached corner to corner. Step 3: Total of thirteen squares, nine squares form a square in the middle with one square on each corner attached corner to corner.
Si el patrón continúa, ¿qué veremos en el paso 5?, ¿y en el paso 18?
Dibuja o describe la figura que hay en cada uno de estos pasos.
¿Cuántos cuadrados pequeños hay en cada uno de estos pasos? Explica cómo lo sabes.
Escribe una ecuación que represente la relación entre el paso, , y el número de cuadrados, . Prepárate para explicar de qué manera cada parte de tu ecuación se relaciona con el patrón. (Si tienes dificultades, puedes hacer una tabla).
Dibuja los primeros 3 pasos de un patrón que se pueda representar con la ecuación .
3.3
Activity
Three steps of a growing pattern. Step 1: Total of three squares, stacked one atop the other. Step 2: Total of eight squares, two squares on row 1, two squares on row 2, two squares on row 3 and two squares on row 4. Step 3: Total of fifteen squares, three squares on row 1, row 2, row 3, row 4 and row 5.
Dibuja el siguiente paso en el patrón.
Kiran dice que el patrón está aumentando linealmente porque a medida que el paso aumenta en 1, tanto el número de filas como el número de columnas también aumentan en 1. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
Diego y Jada escribieron ecuaciones distintas para representar el número de cuadrados al cabo de pasos. Diego escribió la ecuación . Jada escribió la ecuación . ¿Alguno de los dos tiene razón? Explica tu razonamiento.
Student Lesson Summary
A veces se puede expresar una relación cuadrática sin escribir un término al cuadrado que aparezca como una variable elevada a la potencia de dos (como o ). Por ejemplo, consideremos este patrón de cuadrados.
Three steps of a growing pattern. Step 1: Total of two squares, stacked one atop the other. Step 2: Total of six squares, two squares on row 1, row 2 and row 3. Step 3: Total of twelve squares, three squares on row 1, row 2, row 3 and row 4.
A partir de los 3 primeros pasos, podemos ver que tanto el largo como el ancho del rectángulo aumentan en 1 en cada paso. En el paso 1 hay un rectángulo de 1 por 2, en el paso 2 hay un rectángulo de 2 por 3 y en el paso 3 hay un rectángulo de 3 por 4. Esto parece indicar que en el paso hay un rectángulo de longitudes de los lados y , así que el número de cuadrados en el paso es .
Puede que esta expresión no se vea como una expresión cuadrática con un término al cuadrado, como vimos en una lección anterior, pero si usamos la propiedad distributiva, podemos ver que es equivalente a .
También podemos mostrar visualmente que estas expresiones son equivalentes si partimos cada rectángulo en un cuadrado de por (la en la expresión) y un rectángulo de por (la en la expresión).
Three steps of a growing pattern. Step 1: Total of two squares, stacked one above the other with a space between the rows. Step 2: Total of six squares, two squares on row 1, row 2 and row 3. Row 3 is above the others with a space between rows 2 and 3. Step 3: Total of twelve squares, three squares on row 1, row 2, row 3 and row 4. Row 4 is above the others with a space between rows 3 and 4.
La relación entre el paso y el número de cuadrados se puede describir con una función cuadrática, , cuya entrada es y cuya salida es el número de cuadrados que hay en el paso . Podemos definir como o como .
Una función cuadrática es una función en la que la salida está dada por una expresión cuadrática en la entrada.
Por ejemplo, , donde , , y son constantes y , es una función cuadrática.
