Construyamos funciones cuadráticas para describir situaciones (parte 3)
Álgebra 1
7.1
Warm-up
¿Cuáles tres van juntas? ¿Por qué van juntas?
A
B
C
Graph of 13 data points, origin O, with grid. Horizontal axis from negative 2 to 2 by 1’s. Vertical axis from negative 2 to 6 by 1’s. Approximate data points: Negative 2 comma 0 point 2, negative 1 point 75 comma 0 point 25, negative 1 point 5 comma 0 point 3, negative 1 points 25 comma 0 point 4, negative 1 comma negative 0 point 6, negative point 75 comma point 75, negative point 5 comma 1, negative point 25 comma 1 point 5, 0 comma 2, point 25 comma 2 point 9, point 5 comma 4, point 75 comma 5 point 75, 1 comma 8.
D
7.2
Activity
En una empresa que vende películas por internet están decidiendo cuánto cobrarle a sus clientes por descargar una nueva película. A partir de los datos de ventas anteriores, se predice que si se cobra dólares por cada descarga, entonces el número de descargas, en miles, será .
Completa la tabla con el número de descargas que se predice para cada precio. Después, encuentra los ingresos que corresponden a cada precio. Se incluye un ejemplo como ayuda.
precio (dólares por cada descarga)
número de descargas (miles)
ingresos (miles de dólares)
3
15
45
5
10
12
15
18
¿La relación entre el precio por descargar la película y los ingresos (en miles de dólares) es una relación cuadrática? Explica cómo lo sabes.
Ubica los puntos que representan los ingresos, , como función del precio de una descarga, , en dólares.
Blank coordinate plane with grid, origin O. Horizontal axis scale 0 to 25 by 5’s, labeled “price (dollars per download)”. Vertical axis scale 0 to 200 by 50’s, labeled “revenue (thousands of dollars)”.
¿Qué precio recomendarías que la empresa cobrara por la descarga de una nueva película? Explica tu razonamiento.
7.3
Activity
Estos son cuatro grupos de descripciones y ecuaciones que representan algunas funciones cuadráticas conocidas. Las gráficas muestran lo que se puede obtener al graficar las ecuaciones usando tecnología. En cada caso:
Describe un dominio que sea adecuado para la situación. Piensa en cualquier extremo superior o inferior que pueda tomar la entrada de la función. Piensa también si todos los números tienen sentido como entradas. Después, describe cómo se debería modificar la gráfica para mostrar ese dominio que tiene sentido.
Identifica o estima el vértice de la gráfica. Describe lo que significa en la situación.
Identifica o estima los ceros de la función. Describe lo que significan en la situación.
El área de un rectángulo que tiene un perímetro de 25 metros y un lado de longitud :
Graph of the quadratic function
on a coordinate plane, origin
. Horizontal axis scale negative 10 to 15 by 5s, labeled “length (meters)”. Vertical axis scale 0 to 60 by 10’s, labeled “area (square meters)”. Some of the points of this function are
(0 comma 0), (1 comma 11 point 5) and (5 comma 37 point 5) to a maximum at (6 point 2 5 comma 39 point 0 6 3) then decreasing through (10 comma 25), (12 comma 6) and (12 point 5 comma 0).
Dominio:
Vértice:
Ceros:
El número de cuadrados como función del paso :
Graph of the quadratic function
on a coordinate plane, origin
. Horizontal axis scale negative 12 to 12 by 6’s, labeled “step number”. Vertical axis scale 0 to 200 by 40’s, labeled “number of squares”. Some of the points of this function are (negative 10 comma 104), (negative 6 comma 40) and (negative 3 comma 13) to a minimum at (0 comma 4) then increasing through (3 comma 13), (6 comma 40) and (10 comma 104).
Dominio:
Vértice:
Ceros:
La distancia que un objeto que cae ha recorrido, en pies, segundos después de que se suelta:
Graph of the quadratic function
on a coordinate plane, origin
. Horizontal axis scale negative 8 to 8 by 4’s, labeled “time (seconds)”. Vertical axis scale 0 to 600 by 200’s, labeled “distance fallen (feet)”. Some of the points of this function are (negative 8 comma 1024), (negative 5 comma 400) and (negative 1 comma 16) to a minimum at
(0 comma 0) then increasing through (1 comma 16), (5 comma 400) and (8 comma 1024).
Dominio:
Vértice:
Ceros:
La altura, en pies, a la que está un objeto que cae segundos después de que se suelta:
Graph of the quadratic function h(t)=576 - 16t^2 on a coordinate plane, origin O. Horizontal axis scale negative 8 to 8 by 4’s, labeled “time (seconds)”. Vertical axis scale 0 to 800 by 200’s, labeled “height (feet)”. Some of the points of this function are (negative 6 comma 0), (negative 4 comma 320) and (negative 2 comma 512) to a maximum at (0 comma 576) then decreasing through (2 comma 512), (4 comma 320) and (6 comma 0).
Dominio:
Vértice:
Ceros:
Student Lesson Summary
Las funciones cuadráticas surgen a menudo al estudiar los ingresos, que es la cantidad de dinero recibida al vender algo.
Supongamos que vamos a vender boletos para una rifa y estamos decidiendo cuánto cobrar por cada uno. Cuando el precio de los boletos es más alto, por lo general se venden menos boletos.
Digamos que a un precio de dólares, es posible vender boletos. Para calcular los ingresos, podemos multiplicar el precio de un boleto y el número de boletos que se espera vender. Una función que modela los ingresos, , que se reciben es . Esta gráfica representa la función.
Graph of non linear function, origin O. Horizontal axis, price, dollars, from 0 to 9 by 1’s. Vertical axis, revenue, thousands of dollars, 0 to 1400 by 200’s. Line starts at 0 comma 0, increases until 4 comma 1200 then decreases until 8 comma 0. Passes through 2 comma 900 and 6 comma 900.
Cuando el precio de los boletos es bajo, puede que se vendan muchos, pero los ingresos totales aún son bajos porque los boletos son baratos. Cuando el precio de los boletos se acerca a los \$8, no se venden muchas entradas, entonces los ingresos vuelven a ser bajos. A partir de la gráfica, podemos reconocer que el mayor ingreso se obtiene cuando se equilibra el precio de los boletos y el número de boletos vendidos. En esta situación, cuando cada boleto se vende a \$4, los ingresos ascienden a \$1,200.
También podemos ver que para la función , el dominio son todos los valores entre 0 y 8. Esto tiene sentido porque el costo de los boletos no puede ser negativo. Además, si el precio de cada boleto fuera mayor que \$8, el modelo no funcionaría porque los ingresos recibidos no pueden ser negativos. Un ingreso negativo (con un precio de los boletos no negativo) solo podría ocurrir si el número de boletos vendidos es negativo, lo cual no es posible.
