Construyamos funciones cuadráticas para describir situaciones (parte 2)
Álgebra 1
6.1
Activity
Una persona está ubicada en el centro de la cancha de un estadio de fútbol y tiene un lanzacamisetas. Lo sostiene de forma que el cañón por donde salen las camisetas está 5 pies sobre el suelo. El lanzacamisetas dispara una camiseta hacia arriba a una velocidad de 90 pies por cada segundo.
Imagina que no hay gravedad y que la camiseta se sigue desplazando hacia arriba con la misma velocidad.
Completa la tabla con las alturas de la camiseta en distintos tiempos.
segundos
0
1
2
3
4
5
distancia al suelo (pies)
5
Escribe una ecuación que modele la distancia recorrida por la camiseta en pies, , segundos después de ser lanzada si no hay gravedad.
6.2
Activity
En otra actividad, completaste una tabla que representa la altura que alcanzó una camiseta, en pies, como función del tiempo, en segundos, si no hubiera gravedad.
Esta tabla muestra la altura real que alcanzó la camiseta en distintos momentos.
segundos
0
1
2
3
4
5
distancia al suelo (pies)
5
79
121
131
109
55
Compara los valores de esta tabla con los de la tabla que completaste antes. Menciona por lo menos 2 cosas que observes.
En el mismo plano de coordenadas, ubica los dos conjuntos de datos que tienes.
¿En qué se parecen las dos gráficas? ¿En qué se diferencian?
Escribe una ecuación que modele la distancia real de la camiseta, , en pies, segundos después de ser lanzada. Si tienes dificultades, usa las diferencias entre las distancias y los efectos de la gravedad que vimos en una lección anterior.
6.3
Activity
La función definida por da la altura de una bala de cañón, en pies, segundos después de que ha salido del cañón.
¿Qué nos dicen los términos 50, y acerca de la bala de cañón?
Usa tecnología para graficar la función. Usa estas dimensiones para el rectángulo de vista: y .
Observa la gráfica y:
Describe su forma. ¿Qué nos dice la forma de la gráfica acerca del movimiento de la bala de cañón?
Estima la altura máxima que alcanza la bala. ¿Cuándo ocurre esto?
Estima cuándo la bala cae al piso.
Teniendo en cuenta la situación, ¿cuál dominio es adecuado para esta función? Explica tu razonamiento.
Student Lesson Summary
En esta lección, examinamos la altura de objetos que se lanzan hacia arriba y después bajan debido a la gravedad.
Desde una altura de 5 pies se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 60 pies por segundo. Su altura , en pies, al cabo de segundos está modelada por la función .
La expresión lineal representa la altura a la que estaría el objeto en el tiempo si no hubiera gravedad. En este caso, el objeto continuaría yendo hacia arriba a la misma velocidad con la que se lanzó. La gráfica sería una recta con una pendiente de 60, lo que está relacionado con la velocidad constante de 60 pies por segundo.
La expresión representa el efecto de la gravedad, que en algún momento hace que el objeto disminuya su velocidad, se detenga y comience a caer.
Observemos que la gráfica interseca el eje vertical en 5, lo que significa que el objeto se lanzó al aire cuando estaba a 5 pies del suelo. La gráfica indica que el objeto alcanza el pico de la altura a aproximadamente 60 pies, un poco antes de que hayan transcurrido 2 segundos. El pico es el punto de la gráfica donde la función alcanza un valor máximo. En ese punto, la curva cambia de dirección y la salida de la función pasa de ir aumentando a disminuir. Llamamos a ese punto el vértice de la gráfica.
Esta es la gráfica de .
Graph of the quadratic function
on a coordinate plane, origin
. Horizontal axis scale 0 to 4 by 1’s, labeled “time (seconds)”. Vertical axis scale 0 to 80 by 20’s, labeled “distance above ground (feet)”. Some of the points of this function are (0 comma 5), (1 comma 49), to a maximum near (1 point 9 comma 61 point 2 5) then decreasing through (2 comma 61), (3 comma 41) and (3.8 comma 0).
La gráfica que representa cualquier función cuadrática tiene un tipo especial de forma de “U” llamada parábola. En un próximo curso, van a aprender más acerca de la geometría de las parábolas. Cada parábola tiene un vértice, es decir, un punto en el que ella cambia de dirección —pasa de ser creciente a decreciente, o al contrario, de ser decreciente a ser creciente—.
El objeto cae al suelo un poco antes de 4 segundos desde que se lanzó al aire. Ese tiempo corresponde a la intersección de la recta con el eje horizontal. Un valor de entrada con el que se obtenga una salida de 0 se llama un cero de la función. Un cero de la función es aproximadamente 3.8, porque .
En esta situación, los valores de entrada que son menores que 0 segundos o que son mayores que aproximadamente 3.8 segundos no tendrían sentido, así que un dominio adecuado para esta función incluiría todos los valores de que están entre 0 y aproximadamente 3.8.
Un cero de una función es una entrada que produce una salida igual a 0. En otras palabras, si , entonces es un cero de .
El vértice de la gráfica de una función cuadrática o de una función con valor absoluto es el punto donde la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa. El vértice es el punto más alto o más bajo de la gráfica.
