Unit 9, Lesson 4
Representemos el decaimiento exponencial
Matemáticas integradas 1
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Unos científicos usan algunos productos de tratamiento para controlar la proliferación de algas en un lago.
Una vez inicia el tratamiento, el área , en yardas cuadradas, que está cubierta de algas, está dada por la ecuación . El tiempo, , se mide en semanas.
Crea una gráfica que represente cuando es 0, 1, 2, 3 y 4. Piensa detenidamente cómo elegir la escala para los ejes. Si tienes dificultades, puedes crear una tabla de valores.
Cuando una barra luminosa comienza a brillar, puede hacerlo durante horas. La gráfica muestra la luminiscencia, en lúmenes, de una barra luminosa a lo largo del tiempo, en horas.
| tiempo después de empezar a brillar (horas) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| luminiscencia (lúmenes) | 9 | 6.3 | 4.4 | 3.1 |
Esta gráfica muestra la luminiscencia de una pintura que brilla en la oscuridad, medida en lúmenes, durante un periodo de tiempo, medido en horas. La luminiscencia de esta pintura se puede modelar con una función exponencial.
Observa que las cantidades decrecen a lo largo del tiempo. La gráfica incluye el punto . Esto significa que cuando la pintura empezó a brillar, su luminiscencia era 12 lúmenes. El punto nos dice que su luminiscencia era 6 lúmenes 1 hora después. La luminiscencia pasa a ser menor que 1 lumen entre 3 y 4 horas después de que la pintura comenzó a brillar.
Podemos usar la gráfica para encontrar la fracción de luminiscencia que queda cada hora. Observa que y . Cada hora que pasa, la luminiscencia que queda se multiplica por un factor de .
Si es la luminiscencia, en lúmenes, y es el tiempo, en horas, entonces esta situación se modela con la ecuación:
Podemos confirmar que los datos están cambiando exponencialmente porque se multiplican por el mismo valor cada vez. Cuando el factor de crecimiento está entre 0 y 1, la cantidad que se multiplica decrece. Esto suele llamarse “decaimiento exponencial”, y el factor de crecimiento puede llamarse un “factor de decaimiento”.