Comparemos funciones cuadráticas y funciones exponenciales
Álgebra 1
4.1
Warm-up
Sin evaluar cada expresión, escribe estas cantidades en orden, de menor a mayor. Prepárate para explicar tu razonamiento.
4.2
Activity
En el patrón A, el largo y el ancho del rectángulo aumentan en 1 de cada paso al siguiente.
En el patrón B, el número de cuadrados pequeños se duplica de cada paso al siguiente.
En cada patrón, el número de cuadrados pequeños es una función del paso, .
Patrón A
Escribe una ecuación que represente el número de cuadrados pequeños en el paso del patrón A.
¿Esta función es lineal, cuadrática o exponencial?
Completa la tabla:
, paso
, número de cuadrados pequeños
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Patrón B
Escribe una ecuación que represente el número de cuadrados pequeños en el paso del patrón B.
¿Esta función es lineal, cuadrática o exponencial?
Completa la tabla:
, paso
, número de cuadrados pequeños
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Si estos dos patrones siguen creciendo, ¿en qué se parecerán o se diferenciarán? Menciona una o dos cosas que observes.
4.3
Activity
Estas son dos funciones: y .
Investiga la salida de y la salida de cuando toma distintos valores. Para valores suficientemente grandes de , una función tendrá un valor mayor que la otra. ¿Cuál función tendrá un valor mayor a medida que aumenta?
Justifica tu respuesta usando tablas, gráficas u otras representaciones.
Student Lesson Summary
Las gráficas de funciones cuadráticas y funciones exponenciales que tienen una base mayor que 1 se curvan hacia arriba. Para comparar estos dos tipos de funciones, examinemos la expresión cuadrática y la expresión exponencial .
Una tabla de valores muestra que al principio es mayor que , pero que, a partir de cierto punto, se vuelve más grande.
1
3
2
2
12
4
3
27
8
4
48
16
5
75
32
6
108
64
7
147
128
8
192
256
Esta es la razón por la que el crecimiento exponencial a partir de cierto punto supera al crecimiento cuadrático.
Si aumenta en 1, la expresión exponencial siempre aumenta por un factor de 2.
La expresión cuadrática aumenta por factores diferentes, dependiendo de , pero estos factores se vuelven menores. Por ejemplo, si aumenta de 2 a 3, el factor es o 2.25. Si aumenta de 6 a 7, el factor es o aproximadamente 1.36. A medida que va tomando valores más y más grandes, aumenta por un factor que es cada vez más cercano a 1.
En general, las funciones cuadráticas cambian con un factor que se acerca cada vez más a 1, a medida que aumenta el valor de entrada de la función. Las funciones exponenciales siempre crecen con el mismo factor, así que si este factor de crecimiento es mayor que 1, entonces la función exponencial crecerá más rápido que cualquier función cuadrática.
