Unit 7, Lesson 5
Construyamos funciones cuadráticas para describir situaciones (parte 1)
Álgebra 1
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Una piedra se deja caer desde la parte más alta de un edificio de 500 pies de altura. Una cámara captura la distancia total que la piedra ha recorrido, en pies, segundo a segundo.
An image of a rock dropped from the top floor of a 500-foot tall building. A camera displays the distance the rock traveled, in feet, after each second. The displays are 0 seconds comma fell 0 feet, 1 second comma fell 16 feet, 2 seconds comma fell 64 feet, 3 seconds comma fell 144 feet, 4 seconds comma fell 256 feet and 5 seconds comma fell 400 feet.
Ella escribió:
Después, observó que 1, 4, 9, 16 y 25 son y , respectivamente.
La distancia recorrida por un objeto al caer durante cierta cantidad de tiempo es un ejemplo de una función cuadrática. Se dice que Galileo dejó caer balas de cañón de masas diferentes desde la torre inclinada de Pisa, que mide aproximadamente 190 pies de altura, para mostrar que las balas recorren la misma distancia en el mismo tiempo. De hecho, la ecuación modela la distancia , en pies, que una bala de cañón recorre al caer durante segundos, sin importar cuál sea su masa.
Como y la torre solo mide 190 pies de altura, la bala de cañón cae al suelo antes de 4 segundos.
Esta tabla muestra la distancia que recorre la bala de cañón al caer durante los primeros segundos.
| tiempo (segundos) | distancia recorrida al caer (pies) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 16 |
| 2 | 64 |
| 3 | 144 |
Estas son las parejas de tiempo y distancia ubicadas en un plano de coordenadas:
Graph of the quadratic function
on a coordinate plane, origin
. Horizontal axis scale 0 to 6 by 1’s, labeled “time (seconds)”. Vertical axis scale 0 to 200 by 50’s, labeled “distance dropped (feet)”. The four points of the function shown are
(0 comma 0), (1 comma 16), (2 comma 64) and (3 comma 144).
Observemos que la distancia recorrida al caer aumenta cada segundo. La tasa de cambio promedio aumenta cada segundo, lo que quiere decir que con el tiempo la bala de cañón está acelerando. Esto se debe a la influencia de la gravedad, que se ve reflejada en la expresión cuadrática . El exponente 2 de esa expresión es el que hace que los valores de la expresión aumenten en cantidades más y más grandes.
Otra manera de estudiar el cambio de la posición de la bala de cañón es examinando su distancia al suelo como función del tiempo.
Esta tabla muestra la distancia de la bala al suelo, en pies, al cabo de 0, 1, 2 y 3 segundos.
| tiempo (segundos) | distancia al suelo (pies) |
|---|---|
| 0 | 190 |
| 1 | 174 |
| 2 | 126 |
| 3 | 46 |
Estas son las parejas de tiempo y distancia ubicadas en un plano de coordenadas:
Graph of the quadratic function
on a coordinate plane, origin
. Horizontal axis scale 0 to 6 by 1’s, labeled “time (seconds)”. Vertical axis scale 0 to 200 by 50’s, labeled “distance from ground (feet)”. The four points of the function shown are
(0 comma 190), (1 comma 174), (2 comma 126) and (3 comma 46).
La expresión que define la distancia al suelo como función del tiempo es . Esta expresión nos dice que antes de que la bala de cañón se suelte, su distancia al suelo es 190 pies y que esa distancia inicial ha disminuido en al cabo de segundos.