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Estas dos ecuaciones definen funciones cuadráticas.
La gráfica de pasa por y , como se muestra en el plano de coordenadas.
Encuentra las coordenadas de otro punto de la gráfica de . Explica o muestra tu razonamiento. Después, usa los puntos para dibujar la gráfica y márcala.
Priya dice: “Una vez que sé que el vértice es , puedo descubrir, sin graficar, si el vértice es el máximo o el mínimo de la función . Simplemente compararía las coordenadas del vértice con las coordenadas de un punto que esté a cualquier lado del vértice”.
Completa la tabla y luego explica cómo podría haber razonado Priya acerca de si el vértice es el mínimo o el máximo.
| 3 | 4 | 5 | |
| 10 |
No es sorprendente que la forma canónica sea muy útil para encontrar el vértice de una gráfica de una función cuadrática. Por ejemplo, podemos saber que la función dada por tiene un vértice en .
Observamos también que cuando la expresión al cuadrado tiene un coeficiente positivo, la gráfica abre hacia arriba. Esto significa que el vértice, , representa el valor mínimo de la función .
Parabola in x y plane, origin O. X axis 0 to 6, by 1’s. Y axis 0 to 10, by 2s. Parabola opens upward with vertex at 3 comma 1. Left side of parabola crosses the y axis at 10.
Pero ¿por qué la función toma su valor mínimo cuando es 3?
Esta es una manera de explicarlo. Cuando , el término al cuadrado es igual a 0, pues . Cuando es cualquier otro valor distinto de 3, el término al cuadrado es un número positivo mayor que 0 (al elevar al cuadrado cualquier número se obtiene un número positivo). Esto significa que la salida que corresponde a cualquier siempre será mayor que la salida que corresponde a , así que la función tiene un valor mínimo en .
Esta tabla muestra algunos valores de la función para algunos valores de . Observa que la salida tiene el menor valor cuando y su valor aumenta cuando aumenta y también cuando disminuye.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
A veces, el término al cuadrado tiene un coeficiente negativo, como por ejemplo en . El valor de que hace que sea igual a 0 es -4, porque . Cualquier otro valor de hace que sea mayor que 0. Pero cuando se multiplica por un número negativo como -2, la expresión que resulta, , es negativa. Esto significa que la salida que corresponde a cualquier siempre será menor que la salida que corresponde a , así que la función tiene su valor máximo cuando .
Recuerda que podemos encontrar la intersección con el eje de la gráfica que representa cualquier función que hayamos visto. La coordenada de la intersección con el eje es el valor de la función cuando . Si está definida por , entonces la intersección con el eje es porque . Su vértice está en . Otro punto de la gráfica que tiene la misma coordenada está ubicado a la misma distancia horizontal del vértice pero al otro lado.
Parabola in x y plane, origin O. X axis negative 4 to 1, by 1’s. Y axis negative 8 to 2, by 2s. Parabola opens upward with vertex at negative 1 comma negative 5. Other points on the parabola given are negative 2 comma negative 4 and 0 comma negative 4.