Unit 5, Lesson 20
El volumen de una esfera
Grado 8
20.1
Warm-up
Este es un método para dibujar rápidamente una esfera:
- Dibuja un círculo.
- Dibuja un óvalo en el medio cuyos bordes toquen la esfera.
- Dibuja varias esferas de distintos tamaños para practicar.
- En cada esfera, dibuja un radio y márcalo con una .
20.2
Activity
Estos son un cono, una esfera y un cilindro. Todos tienen el mismo radio y la misma altura.
El radio del cilindro es 5 unidades. Si es necesario, expresa todas las respuestas en términos de .
- ¿Cuál es la altura del cilindro?
- ¿Cuál es el volumen del cilindro?
- ¿Cuál es el volumen del cono?
- ¿Cuál es el volumen de la esfera? Explica tu razonamiento.
20.3
Activity
Estos son un cono, una esfera y un cilindro. Todos tienen el mismo radio y la misma altura.
Digamos que el radio del cilindro es unidades. Cuando sea necesario, expresa las respuestas en términos de .
- ¿Cuál es la altura del cilindro en términos de ?
- ¿Cuál es el volumen del cilindro en términos de ?
- ¿Cuál es el volumen del cono en términos de ?
- ¿Cuál es el volumen de la esfera en términos de ?
- El volumen del cono es del volumen de un cilindro. ¿Qué fracción del volumen del cilindro es el volumen de la esfera?
Student Lesson Summary
Piensa en una esfera con radio unidades que cabe exactamente dentro de un cilindro. Si este es el caso, el cilindro debe tener un radio de unidades y una altura de unidades. Si usamos lo que hemos aprendido sobre volumen, el cilindro tiene un volumen de , que es igual a unidades cúbicas.
Sabemos por una lección anterior que el volumen de un cono que tiene la misma base y la misma altura de un cilindro tiene del volumen del cilindro. En este ejemplo, ese cono tiene un volumen de o unidades cúbicas.
Si llenamos el cono y la esfera con agua y luego vertemos toda el agua en el cilindro, el cilindro quedará completamente lleno. Esto significa que la suma del volumen de la esfera y el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. En otras palabras, si es el volumen de la esfera, entonces:
Esto nos lleva a la fórmula del volumen de la esfera:
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