Unit 5, Lesson 19
Estimemos el volumen de un hemisferio
Grado 8
19.1
Warm-up
Estas son dos figuras. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?
19.2
Activity
- Mai tiene un pisapapeles con forma de domo que puede usar como una lupa. El pisapapeles tiene la forma de un hemisferio y está hecho de cristal sólido, así que ella quiere diseñar una caja para guardarlo y que no se rompa. Su pisapapeles tiene un radio de 3 cm.
- ¿Cuáles son las dimensiones de la caja más pequeña posible en la que quepa el hemisferio?
- ¿Cuál es el volumen de la caja?
- ¿Cuál es una estimación razonable del volumen del pisapapeles?
- Tyler tiene una caja diferente cuyos lados miden el doble que los lados de la caja de Mai. La caja de Tyler es lo suficientemente grande para que quepa otro pisapapeles de cristal.
- ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?
- ¿Cuál es una estimación razonable del volumen de este pisapapeles de cristal?
- ¿Cuántas veces mayor crees que es el volumen del pisapapeles de Mai comparado con el volumen del pisapapeles de Tyler? Explica tu razonamiento.
19.3
Activity
-
Un hemisferio de 5 unidades de radio cabe exactamente dentro de un cilindro de igual radio y altura.
- Calcula el volumen del cilindro.
- Estima el volumen del hemisferio. Explica tu razonamiento.
-
Un cono cabe exactamente dentro de un hemisferio y comparten un radio de 5.
- ¿Cuál es el volumen del cono?
- Estima el volumen del hemisferio. Explica tu razonamiento.
- Compara tu estimación del volumen del hemisferio que contiene el cono con tu estimación del volumen del hemisferio que está dentro del cilindro. ¿Cómo se relaciona el volumen del hemisferio con el volumen del cilindro y del cono?
Student Lesson Summary
Podemos estimar el volumen de un hemisferio comparándolo con otras figuras cuyo volumen conocemos. Por ejemplo, un hemisferio de radio 1 unidad cabe dentro de un cilindro de radio 1 unidad y altura 1 unidad.
Como el hemisferio está dentro del cilindro, debe tener un volumen más pequeño que el cilindro, lo que hace que el volumen del cilindro sea una sobreestimación razonable del volumen del hemisferio.
El volumen de este cilindro en particular es aproximadamente 3.14 unidades cúbicas, porque , así que sabemos que el volumen del hemisferio es menor que 3.14 unidades cúbicas.
Usando una lógica similar, un cono de 1 unidad de radio y 1 unidad de altura cabe dentro del hemisferio de 1 unidad de radio.
Como el cono está dentro del hemisferio, el cono debe tener un volumen más pequeño que el hemisferio, lo que hace que el volumen del cono sea una subestimación razonable del volumen del hemisferio.
El volumen de este cono en particular es aproximadamente 1.05 unidades cúbicas, porque , así que sabemos que el volumen del hemisferio es mayor que 1.05 unidades cúbicas.
Al promediar el volumen del cilindro y el del cono, podemos estimar que el volumen del hemisferio es aproximadamente 2.10 unidades cúbicas, porque . Y, dado que un hemisferio es la mitad de una esfera, también podemos estimar que una esfera de radio 1 tendría el doble de este volumen, es decir, aproximadamente 4.19 unidades cúbicas.
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