Este es un segmento de recta en una cuadrícula. ¿Cómo podemos encontrar la longitud de este segmento de recta?

Dibujar algunos círculos nos permite decir que es más largo que 2 unidades, pero más corto que 3 unidades.

Two circles that have the same center are drawn on a square grid with radii 2 and 3. A line segment slanted upward and to the left is drawn such that the bottom endpoint is the center of the two circles and is 1 unit down and 2 units right of the top endpoint of the line segment.

Para encontrar un valor exacto de la longitud del segmento, podemos construir un cuadrado sobre él y usar el segmento como uno de los lados del cuadrado.

El área de este cuadrado es 5 unidades cuadradas. Eso significa que el valor exacto de la longitud de su lado es unidades.

Observa que 5 es mayor que 4, pero menor que 9. Eso significa que es mayor que 2, pero menor que 3. Esto tiene sentido porque ya vimos que la longitud del segmento está entre 2 y 3.

Con algo de aritmética, podemos obtener una idea aún más precisa de dónde está en la recta numérica. La imagen con los círculos muestra que está más cerca de 2 que de 3, así que busquemos el valor de 2.1² y 2.2² y veamos qué tan cerca están de 5. Resulta que y , entonces necesitamos probar un número más grande. Si aumentamos nuestra búsqueda en una décima, encontramos que . Esto significa que es mayor que 2.2, pero menor que 2.3. Si quisiéramos continuar, podríamos intentar y eventualmente limitar el valor de al lugar de las centésimas. Las calculadoras realizan este mismo proceso con muchos decimales, dando una aproximación como . Aunque hay muchas cifras decimales, todavía no es exacto porque es irracional.