Unit 1, Lesson 9
Fórmula del área de un triángulo
Grado 6
9.1
Warm-up
Estas son seis copias de un triángulo. En cada copia, uno de los lados se marcó como la base.
En los primeros tres diagramas, los segmentos punteados representan las alturas del triángulo.
En los siguientes tres diagramas, los segmentos punteados no representan las alturas del triángulo.
Selecciona todas las afirmaciones que son verdaderas acerca de las bases y las alturas de un triángulo.
- Cualquier lado de un triángulo puede ser una base.
- Hay una sola altura posible.
- Una altura siempre es uno de los lados de un triángulo.
- Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse de manera que forme un ángulo recto con la base.
- Una vez escogemos una base, existe solo un segmento que representa la altura correspondiente.
- Un segmento que represente una altura tiene que pasar por un vértice.
9.2
Activity
Para cada triángulo:
- Identifica una base y una altura correspondiente. Escribe las medidas de la base y la altura en la tabla.
- Encuentra el área del triángulo y anótala en la última columna de la tabla.
| triángulo | base (unidades) | altura (unidades) | área (unidades cuadradas) |
|---|---|---|---|
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| cualquier triángulo |
En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier triángulo en la que uses y .
9.3
Activity
En cada triángulo, encierra una medida que puedas usar como base para hallar el área del triángulo. Después, halla el área de tres de los triángulos que elijas. Muestra tu razonamiento.
A triangle labeled A. Triangle A has one side length of 5 with a perpendicular length of 6 from that side to the opposite vertex.
A triangle labeled B. Triangle B has sides of length 4, 4, and unknown with a 90-degree angle between the two known sides.
A triangle labeled C. Triangle C has side lengths 7, 3.5, and unknown. The perpendicular length from the side of length 7 to the opposite vertex is 3.
A triangle labeled D. Triangle D has side lengths 8, 3.5, and 8.73. There is a 90-degree angle between the sides of length 8 and 3.5.
A triangle labeled E. Triangle E has sides 10, 6, and unknown. The perpendicular length from the side of length 6 to the opposite vertex is 5.
Student Lesson Summary
- Podemos llamar base a cualquiera de los tres lados de un triángulo. El término “base” se refiere tanto al lado como a su longitud (la medida).
- La altura correspondiente es la longitud de un segmento perpendicular que va de la base hasta el vértice opuesto a ella. El vértice opuesto es el vértice que no es un punto extremo de la base.
Estas son tres parejas de bases y alturas del mismo triángulo. Los segmentos punteados en los diagramas representan las alturas.
Un segmento que representa una altura se puede dibujar formando un ángulo recto con la base, pero se puede dibujar en más de un lugar. No tiene que pasar por el vértice opuesto siempre y cuando una la base y una recta paralela a la base que pase por el vértice opuesto, como se muestra aquí.
Las parejas de base y altura en un triángulo están relacionadas estrechamente con las de un paralelogramo. Recuerda que dos copias de un triángulo pueden componerse para formar uno o más paralelogramos. Cada paralelogramo que se compone a partir de un triángulo y su copia comparte al menos una base con el triángulo.
Two identical triangles, each with a copy composing the triangle into two different parallelograms. In each parallelogram has the bottom side labeled “base” and dashed lines at right angles to the base indicating the height of the parallelogram.
Para cualquier base que ellos compartan, también comparten la altura correspondiente, como se muestra con los segmentos punteados.
Podemos usar nuestro conocimiento sobre paralelogramos y las medidas de base y altura para hallar el área de cualquier triángulo.
- La fórmula del área de un paralelogramo con base y altura es .
- Un triángulo ocupa la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma base y altura, entonces podemos expresar el área, , de un triángulo así:
-
El área del triángulo A es 15 unidades cuadradas porque .
-
El área del triángulo B es 4.5 unidades cuadradas porque .
-
El área del triángulo C es 24 unidades cuadradas porque .
En cada caso, un lado del triángulo es la base, pero ninguno de los otros lados es la altura. Esto ocurre porque el ángulo entre ellos no es un ángulo recto.
Sin embargo, en los triángulos rectángulos, los dos lados que son perpendiculares pueden ser una base y una altura.
El área de este triángulo es 18 unidades cuadradas, sin importar si usamos 4 unidades o 9 unidades para la base.
Para cada lado de un triángulo hay un vértice que no está sobre ese lado. A este lo llamamos el vértice opuesto (a ese lado).
El punto es el vértice opuesto al lado .