Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, una solución o ninguna solución.

Para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática y cuáles son, podemos primero reorganizarla para que quede como una ecuación con un lado igual a 0. Después, podemos graficar la función definida por la expresión y encontrar los ceros de la función. Veamos algunos ejemplos.

• Primero restamos  a cada lado y reescribimos la ecuación de esta manera: . Para resolver esta ecuación, podemos pensar en encontrar los ceros de la función definida por .

  Si la salida de esta función es , podemos graficar  e identificar dónde la gráfica se interseca con el eje  o dónde la coordenada  es .

  

  A partir de la gráfica, podemos ver que los puntos en los que la gráfica interseca el eje  son  y , así que  es igual a 0 cuando  es 0 y cuando  es 5.

  A partir de la gráfica, podemos ver fácilmente que la ecuación tiene dos soluciones.

Observa que la ecuación  se puede resolver sin graficar, pero debemos tener cuidado de no dividir ambos lados entre . Si lo hacemos, obtendríamos , ¡pero perderíamos la pista de la otra solución, !

Aunque dividir ambos lados entre el mismo valor suele aceptarse para resolver ecuaciones, evitamos dividir entre la misma variable porque se podría eliminar una solución.

• Reescribamos la ecuación como , y pensemos que esta representa una función definida por , cuya salida, , es 0.

  Grafiquemos  e identifiquemos las intersecciones con el eje .

  

  La gráfica muestra una intersección con el eje  en . Esto nos dice que la función definida por  tiene solo un cero.

  Esto también significa que la ecuación  solo es verdadera cuando . La única solución de la ecuación es 5.

• Si reorganizamos la ecuación, obtenemos .

  Grafiquemos  y encontremos las intersecciones con el eje .

  

  ​​​

  La gráfica no interseca al eje , así que no hay intersecciones con el eje .

  Esto significa que no hay valores de  que puedan hacer que la expresión  sea igual a 0, así que la función definida por  no tiene ceros.

  La ecuación  no tiene soluciones.

  Podemos darnos cuenta de que esto es verdadero sin graficar.  es lo mismo que . Dado que ningún número elevado al cuadrado da como resultado un valor negativo, la ecuación no tiene soluciones.

Anteriormente, aprendimos que graficar no siempre es la forma más confiable de encontrar soluciones precisas. Esto también aplica en este caso. Las intersecciones con el eje  de una gráfica no siempre son valores enteros. La gráfica puede darnos una idea de cuántas soluciones hay y de cuáles pueden ser los valores (o al menos una aproximación), pero para obtener las soluciones exactas tenemos que seguir apoyándonos en métodos de solución algebraicos.