Números como -1.7, y se conocen como números racionales.
Números como se conocen como números irracionales.
Esta es una lista de números. Clasifícalos según sean racionales o irracionales.
97
-8.2
20.2
Activity
Soluciones sospechosamente irracionales
Usa tecnología para graficar cada una de estas ecuaciones cuadráticas. En cada caso, identifica los ceros de la función representada por cada gráfica y di si crees que estos pueden ser racionales o irracionales. Prepárate para explicar tu razonamiento.
ecuación
ceros
¿racionales o irracionales?
Encuentra las soluciones exactas de cada ecuación (no las aproximadas) y muestra tu razonamiento. Después, di si piensas que cada solución es racional o irracional. Prepárate para explicar tu razonamiento.
20.3
Activity
Experimentos con números racionales y números irracionales
Esta es una lista de números:
Estas son algunas afirmaciones acerca de las sumas y los productos de distintos tipos de números. Decide si cada afirmación siempre es verdadera, si es verdadera solo para algunos números pero no para otros o si nunca es verdadera.
Sumas:
La suma de dos números racionales es racional.
La suma de un número racional y un número irracional es irracional.
La suma de dos números irracionales es irracional.
Productos:
El producto de dos números racionales es racional.
El producto de un número racional y un número irracional es irracional.
El producto de dos números irracionales es irracional.
Experimenta con sumas y productos de dos números de la lista anterior para ayudarte a decidir.
Student Lesson Summary
Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas pueden ser números racionales o números irracionales. Recordemos que:
Los números racionales se pueden escribir como fracciones positivas o fracciones negativas. Algunos ejemplos son: 12, -3, , -4.79 y . ( puede escribirse como una fracción porque es igual a . El número -4.79 es el opuesto de 4.79, que es ).
Cualquier número que no sea racional es irracional. Algunos ejemplos son: y . Cuando un número irracional se escribe usando dígitos decimales, sus dígitos no terminan ni siguen un patrón que se repite a partir de cierto punto. Por esto, un número decimal solo puede dar el valor aproximado de un número irracional.
¿Cómo sabemos si las soluciones de una ecuación cuadrática son racionales o irracionales?
Si solucionamos una ecuación cuadrática graficando su función correspondiente (), a veces podemos solucionarla a partir de las coordenadas de las intersecciones con el eje . Otras veces, no podemos estar seguros.
Solucionemos y graficando y .
Graphs of two functions on a grid. X axis from negative 4 to 2, by 2’s. Y axis from negative 8 to 4, by 4’s. Function y equals x squared minus 5 opens upward with points at negative 2 point 2 3 6 comma 0 and 2 point 2 3 6 comma 0. Vertex at 0 comma 5. Function y equals x squared minus 49 divided 100 opens upward with points at negative 0 point 7 comma 0 and 0 point 7 comma 0.
La gráfica de cruza el eje en -0.7 y 0.7. No hay dígitos después del 7, lo que nos dice que los valores de son exactamente y , que son números racionales.
Para comprobar que estos números son soluciones exactas de la ecuación, podemos ver si hacen que la ecuación original sea verdadera.
y , así que son soluciones exactas.
La gráfica de , que se hizo con tecnología para graficar, parece cruzar el eje en -2.236 y en 2.236. No es claro si las coordenadas tienen solo tres dígitos decimales o si tienen más. Si estos dígitos terminan o si en algún momento forman un patrón que se repite, las soluciones son racionales. Si no terminan o si nunca forman un patrón que se repite, las soluciones son irracionales.
En todo caso, podemos reconocer que 2.236 no es una solución exacta de la ecuación. Cuando reemplazamos por 2.236 en la ecuación original, obtenemos : podemos notar que este valor es cercano a 0 pero no exactamente igual a 0. Esto significa que las soluciones no son exactas y que las soluciones pueden ser números irracionales.
Para saber con certeza si las soluciones son racionales o son irracionales, podemos solucionar las ecuaciones.
Las soluciones de son , que son racionales.
Las soluciones de son , que son irracionales. (2.236 es un valor aproximado de , pero no es igual a .)
