Recordemos que una función cuadrática se puede definir usando expresiones equivalentes escritas en formas diferentes, lo que nos permite ver las distintas características de su gráfica. Por ejemplo, estas expresiones definen la misma función:

• A partir de la forma factorizada, podemos reconocer que las intersecciones con el eje  son ​​​​​​ y .
• A partir de la forma estándar, podemos reconocer que la intersección con el eje  es .
• A partir de la forma canónica, podemos reconocer que el vértice es .

Graph of a quadratic function on a grid. X axis from 0 to 9, by 1’s. Y axis from negative 8 to 20, by 4’s. Origin O. Graph opens upward with points 0 comma 21, 3 comma 0, and 7 comma 0. Vertex at 5 comma negative 4.

Recordemos que una función se escribe así en forma canónica: . Los valores de  y  nos dan el vértice de la gráfica:  son las coordenadas del vértice. En este ejemplo,  es 1, es 5 y  es -4.

• Cuando tenemos una expresión escrita en forma canónica, podemos reescribirla en forma estándar usando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes.

  Supongamos que queremos reescribir  en forma estándar.

• Cuando tenemos una expresión escrita en forma estándar, podemos reescribirla en forma canónica completando el cuadrado.

  Reescribamos  en forma canónica.

  La expresión  es un cuadrado perfecto, así que necesitamos sumar 1. Sin embargo, sumar 1 cambiaría la expresión. Para que la expresión nueva sea equivalente a la expresión original, necesitamos sumar 1 y también restar 1.

• Reescribamos otra expresión en forma canónica: .

  Para completar el cuadrado más fácilmente, primero podemos usar la propiedad distributiva y reescribir la expresión factorizando -2. Obtenemos .

  Para que la expresión que está dentro de los paréntesis sea un cuadrado perfecto, necesitamos obtener . Tenemos 15 en la expresión, así que podemos restar 6 para obtener 9 y también sumar 6 para mantener el valor. Después, podemos reescribir  en forma factorizada.

  Sin embargo, esta expresión aún no está escrita en forma canónica. Para terminar, necesitamos aplicar la propiedad distributiva nuevamente para que la expresión quede en la forma :

  Cuando la expresión se escribe en esta forma, podemos ver que el vértice de la gráfica que representa  es .