Ecuaciones cuadráticas que tienen soluciones irracionales
Álgebra 1
15.1
Warm-up
Raíces de cuadrados
Estos son dos cuadrados. El cuadrado A tiene un área de 9 unidades cuadradas. El cuadrado B tiene un área de 2 unidades cuadradas.
¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado A?
Compara esa longitud de lado con las soluciones de la ecuación . ¿Qué puedes decir?
¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado B?
Compara esa longitud de lado con las soluciones de la ecuación . ¿Qué puedes decir?
15.2
Activity
Soluciones escritas como raíces cuadradas
Soluciona cada ecuación. Usa la notación cuando sea adecuado.
15.3
Activity
Encontremos soluciones irracionales completando el cuadrado
En este ejemplo se soluciona una ecuación graficando y también completando el cuadrado.
Function on a grid. X axis from negative 8 to 2, by 2’s. Y axis from negative 4 to 2, by 2’s. Origin, O. Parabola opens upward and crosses the x axis at negative 4 point 4 1 4 and negative 1 point 5 8 6.
Comprueba todo esto: es aproximadamente 1.414, así que y .
Encuentra las soluciones exactas de cada una de las siguientes ecuaciones completando el cuadrado y encuentra las soluciones aproximadas graficando. Después, comprueba que las soluciones que encontraste usando estos dos métodos son cercanas. Si tienes dificultades, puedes estudiar el ejemplo anterior.
Student Lesson Summary
Cuando solucionamos ecuaciones cuadráticas, es importante recordar que:
Cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, porque hay dos números que se pueden elevar al cuadrado para obtener ese número. (Por ejemplo, tanto como son iguales a 36, así que 6 y -6 son ambos raíces cuadradas de 36).
El símbolo de raíz cuadrada () se puede usar para expresar la raíz cuadrada positiva de un número. Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 36 es 6, que también se puede escribir como , porque .
Para expresar la raíz cuadrada negativa de un número, por ejemplo, de 36, podemos escribir -6 o .
Si un número no es un cuadrado perfecto, por ejemplo, 40, podemos expresar sus raíces cuadradas escribiendo y .
¿Cómo podemos escribir las soluciones de una ecuación como ? Esta ecuación dice que “algo elevado al cuadrado es 11”. Para hacer que la ecuación sea verdadera, ese algo debe ser o . Entonces, podemos escribir:
Una manera más compacta de escribir las dos soluciones de la ecuación es: .
¿Aproximadamente qué tan grandes o pequeños son esos números?, ¿son positivos o negativos? Podemos usar una calculadora para calcular los valores aproximados de ambas expresiones:
También podemos aproximar las soluciones haciendo gráficas. La ecuación es equivalente a , entonces podemos graficar la función y encontrar sus ceros identificando las intersecciones de la gráfica con el eje .
Function on a grid. X axis from negative 14 to 2, by 2’s. Y axis from negative 14 to 2, by 2’s. Origin, O. Parabola opens upward and crosses the x axis at negative 7 point 3 1 7 and negative 0 point 6 8 3.
