Clare dice: “Sé que \(\sqrt3\) es un número irracional, así que sus dígitos decimales nunca terminan ni forman un patrón que se repita a partir de ningún punto. También sé que \(\frac29\) es un número racional, así que sus dígitos decimales terminan o forman un patrón a partir de algún punto. Sin embargo, no sé cómo sumar o multiplicar estos dígitos decimales, así que no estoy segura de si \(\sqrt3 + \frac29\) y \(\sqrt3 \boldcdot \frac29\) son números racionales o irracionales."

1. Este es un argumento incompleto que explica por qué \(\sqrt3 + \frac29\) es irracional. Completa las partes que faltan.

   1. Sea \(x = \sqrt3 + \frac29\). Si \(x\) fuera racional, entonces \(x - \frac29\) también sería racional porque . . . . 
   2. Pero \(x - \frac29\) no es racional porque . . . .
   3. Como \(x\) no es racional, debe ser . . . .
2. Usa el mismo tipo de argumento para explicar por qué \(\sqrt3 \boldcdot \frac29\) es irracional.

Las siguientes tres expresiones definen la misma función cuadrática.

1. ¿Cuál es la intersección de la gráfica de la función con el eje \(y\)?
2. ¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\)?
3. ¿Cuál es el vértice de la gráfica?
4. Sin usar tecnología, dibuja una gráfica de la función cuadrática. Asegúrate de ubicar con precisión las intersecciones con el eje \(x\), la intersección con el eje \(y\) y el vértice.

Estas son dos funciones cuadráticas: \(f(x) = (x + 5)^2 + \frac12\) y \(g(x) = (x + 5)^2 + 1\).

Andre dice que tanto \(f\) como \(g\) tienen un valor mínimo y que el valor mínimo de \(f\) es menor que el valor mínimo de \(g\). ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.

En cada caso, dibuja una gráfica de la función cuadrática sin usar tecnología. Asegúrate de ubicar con precisión los vértices y las intersecciones con los ejes que estén dentro de las cuadrículas dadas.

\(f(x) = x^2 + 4x + 3\)

\(g(x)=x^2-4x+3\)

\(h(x) = x^2 - 11x + 28\)