¿Cuándo y por qué escribimos ecuaciones cuadráticas?
Álgebra 1
2.1
Warm-up
La expresión representa el costo total de comprar boletos para una obra de teatro. Responde las preguntas y prepárate para explicar tus respuestas.
Una familia pagó \$62.50 por los boletos. ¿Cuántos boletos compró?
Una profesora pagó \$278.50 por los boletos de sus estudiantes. ¿Cuántos boletos compró?
2.2
Activity
Esta es una función que modela la altura de una papa, en pies, segundos después de ser lanzada usando un artefacto:
¿Qué ecuación podemos resolver para encontrar el tiempo en el que la papa toca el suelo?
Usa cualquier método, excepto graficar, para encontrar una solución de esta ecuación.
2.3
Activity
Las expresiones y describen los ingresos que obtendría una escuela por vender boletos para una rifa a dólares cada uno.
Para cada situación, escribe una ecuación cuadrática usando estas expresiones cuadráticas. Luego, encuentra el precio, , de cada boleto según cada situación. Explica tu razonamiento.
La escuela obtiene \$0 de ingresos por la venta de boletos.
La escuela obtiene \$500 de ingresos por la venta de boletos.
Student Lesson Summary
Una papa se lanza usando un artefacto mecánico. La altura a la que está la papa segundos después de ser lanzada se puede modelar con una función, . Estas dos expresiones son equivalentes y ambas definen la función :
Observa que una expresión está escrita en forma estándar y la otra está escrita en forma factorizada.
Supongamos que queremos saber, sin graficar la función, el tiempo en el que la papa toca el suelo. Sabemos que el valor de la función en ese tiempo es 0, así que podemos escribir:
Tratemos de resolver . Usemos algunas movidas que conocemos. Por ejemplo:
Restar 96 a cada lado:
Aplicar la propiedad distributiva para reescribir la expresión al lado izquierdo de la igualdad:
Dividir ambos lados entre -16:
Aplicar la propiedad distributiva para reescribir la expresión al lado izquierdo de la igualdad:
Parece que con estos pasos no estamos más cerca de encontrar una solución. ¡Necesitamos movidas nuevas!
¿Qué tal si usamos la otra ecuación? ¿Podemos encontrar las soluciones de ?
Ya aprendimos antes que los ceros de una función cuadrática se pueden identificar cuando la expresión que define la función está escrita en forma factorizada. Las soluciones de son los ceros de la función , ¡entonces esta forma puede ser más útil! Podemos razonar así:
Si es 6, el valor de es 0, entonces el valor de toda la expresión es 0.
Si es -1, el valor de es 0, entonces el valor de toda la expresión es 0.
Esto nos dice que 6 y -1 son las soluciones de la ecuación y que la papa toca el suelo cuando el tiempo es 6 segundos. (Un valor negativo de tiempo no tiene sentido, así que podemos descartar el -1).
Las dos ecuaciones que vimos son ecuaciones cuadráticas. En general, una ecuación cuadrática es una ecuación que se puede expresar como , donde , y son constantes y .
En próximas lecciones, aprenderemos cómo reescribir ecuaciones cuadráticas para que las soluciones sean fáciles de ver.
Un cero de una función es una entrada que produce una salida igual a 0. En otras palabras, si , entonces es un cero de .
Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de la forma , donde , y son constantes y .
La forma estándar de una expresión cuadrática es , donde , y son constantes y 0.
Una expresión cuadrática está en forma factorizada si está escrita como el producto de una constante multiplicada por dos factores lineales.
