Reescribe cada expresión cuadrática en forma estándar.

1. \((x+1)(7x+2)\)
2. \((8x+1)(x-5)\)
3. \((2x+1)(2x-1)\)
4. \((4+x)(3x-2)\)

En cada caso, encuentra la expresión que falta dentro de los paréntesis para hacer que las dos expresiones cuadráticas sean equivalentes. Muestra por qué tu expresión funciona.

1. \((4x-1)(\underline{\hspace{1in}})\) y \(16x^2 -8x +1\)
2. \((9x + 2)(\underline{\hspace{1in}})\) y \(9x^2 -16x -4\)
3. \((\underline{\hspace{1in}})(\text-x + 5)\) y \(\text-7x^2 +36x-5\)

El número de descargas de una canción en una semana es una función, \(f\), del número de semanas, \(w\), desde que la canción se lanzó. La ecuación \(f(w) = 100,\!000 \boldcdot \left(\frac{9}{10}\right)^w\) define esta función.

1. ¿Qué nos dice el número 100,000 acerca de las descargas?, ¿y el número \(\frac{9}{10}\)?

2. ¿Tiene sentido \(f(\text-1)\) en esta situación? Explica tu razonamiento.

Considera la ecuación \(4x^2 - 4x -15 = 0\).

1. Identifica los valores por los que reemplazarías \(a\), \(b\) y \(c\) en la fórmula cuadrática para solucionar la ecuación.

2. Evalúa cada una de estas expresiones reemplazando los valores de \(a\), \(b\) y \(c\).

   ​​​​\(\text- b\)

   \(b^2\)

   \(4ac\)

   ​​​​​\(b^2 - 4ac\)

   \(\sqrt{b^2 - 4ac}\)

   \(\text- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}\)

   \(2a\)

   \(\dfrac{\text- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

3. Las soluciones de la ecuación son \(x=\text-\frac 32\) y \(x=\frac52\). ¿Estos valores son iguales a los valores de la última expresión que evaluaste en la pregunta anterior?

1. Describe la gráfica de \(y=\text-x^2\). (¿Abre hacia arriba o hacia abajo? ¿Dónde está su intersección con el eje \(y\)? ¿Dónde están sus intersecciones con el eje \(x\)?).

2. Sin graficar, describe cómo cambiarían las siguientes características de la gráfica de \(y = \text-x^2\) si le sumamos \(16x\) a \(\text-x^2\). (Si tienes dificultades, puedes escribir las expresiones en forma factorizada).

   1. las intersecciones con el eje \(x\)
   2. el vértice
   3. la intersección con el eje \(y\)
   4. la dirección en la que abre la gráfica en forma de U